Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Примеры решения задач
Задача 1.1. Предполагая λ малой величиной, найти разложение оператора (
ˆ
A − λ
ˆ
B)
−1
по
степеням λ.
Решение. Запишем (
ˆ
A −λ
ˆ
B)
−1
в виде ряда по степеням λ
(
ˆ
A − λ
ˆ
B)
−1
=
X
n
λ
n
ˆ
C
n
,
где
ˆ
C
n
– неизвестный оператор. Умножим обе части равенства на (
ˆ
A − λ
ˆ
B). Тогда, прирав-
нивая в полученном соотношении соответствующие слагаемые при одинаковых степенях λ,
получим
ˆ
A
ˆ
C
n+1
=
ˆ
B
ˆ
C
n
,
откуда
ˆ
C
n+1
=
ˆ
A
−1
ˆ
B
ˆ
C
n
,
ˆ
C
0
=
ˆ
A
−1
.
Следовательно, искомое разложение имеет вид
(
ˆ
A − λ
ˆ
B)
−1
=
ˆ
A
−1
+ λ
ˆ
A
−1
ˆ
B
ˆ
A
−1
+ ... =
ˆ
A
−1
X
n
λ
n
ˆ
B
n
ˆ
A
−n
.
Задача 1.2. Проекционным называется самосопряженный оператор
ˆ
P , удовлетворяющий со-
отношению
ˆ
P
2
=
ˆ
P . Показать, что оператор
ˆ
P (f
i
), действие которого на собственные функ-
ции дискретного спектра физической величины
ˆ
f состоит в следующем
ˆ
P (f
i
)ψ
f
k
= δ
f
i
,f
k
ψ
f
i
=
ψ
f
i
, f
i
= f
k
,
0, f
i
6= f
k
,
является проекционным. На какие состояния проектирует этот оператор? Какой физический
смысл имеет среднее значение h
ˆ
P (f
i
)i в произвольном состоянии, описываемом волновой
функцией ψ?
Решение. Разложим произвольные функции ψ и ϕ по собственным функциям ψ
k
оператора
ˆ
f,
что возможно, так как система собственных функций является полной
ψ =
X
k
a
k
ψ
f
k
, ϕ =
X
k
b
k
ψ
f
k
.
Оператор
ˆ
P (f
i
) является самосопряженным, так как
Z
ϕ
∗
ˆ
P (f
i
)ψdV = a
i
Z
ϕ
∗
ψ
f
i
dV = a
i
b
∗
i
=
=
Z
h
ˆ
P (f
i
)ϕ
i
∗
ψdV =
Z
h
ˆ
P
+
(f
i
)ϕ
i
∗
ψdV.
         МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ


                                   Примеры решения задач

Задача 1.1. Предполагая λ малой величиной, найти разложение оператора (Â − λB̂)−1 по
степеням λ.
Решение. Запишем (Â − λB̂)−1 в виде ряда по степеням λ
                                               X
                                (Â − λB̂)−1 =    λn Ĉn ,
                                                        n

где Ĉn – неизвестный оператор. Умножим обе части равенства на (Â − λB̂). Тогда, прирав-
нивая в полученном соотношении соответствующие слагаемые при одинаковых степенях λ,
получим
                                           ÂĈn+1 = B̂ Ĉn ,
откуда
                                  Ĉn+1 = Â−1 B̂ Ĉn , Ĉ0 = Â−1 .
Следовательно, искомое разложение имеет вид
                                                                       X
                  ( − λB̂)−1 = Â−1 + λÂ−1 B̂ Â−1 + ... = Â−1             λn B̂ n Â−n .
                                                                           n

Задача 1.2. Проекционным называется самосопряженный оператор P̂ , удовлетворяющий со-
отношению P̂ 2 = P̂ . Показать, что оператор P̂ (fi ), действие которого на собственные функ-
ции дискретного спектра физической величины fˆ состоит в следующем
                                                       
                                                       ψ , f = f ,
                                                          fi i    k
                           P̂ (fi )ψfk = δfi ,fk ψfi =
                                                       0, f 6= f ,
                                                                i      k


является проекционным. На какие состояния проектирует этот оператор? Какой физический
смысл имеет среднее значение hP̂ (fi )i в произвольном состоянии, описываемом волновой
функцией ψ?
Решение. Разложим произвольные функции ψ и ϕ по собственным функциям ψk оператора fˆ,
что возможно, так как система собственных функций является полной
                                  X               X
                              ψ=     ak ψfk , ϕ =   bk ψfk .
                                       k                    k

Оператор P̂ (fi ) является самосопряженным, так как
                          Z                    Z
                             ϕ P̂ (fi )ψdV = ai ϕ∗ ψfi dV = ai b∗i =
                              ∗

                            Z h          i∗      Z h          i∗
                                                       +
                         =      P̂ (fi )ϕ ψdV =      P̂ (fi )ϕ ψdV.

Страницы