Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 24 стр.

24                                                                     Шорохов А.В., Пятаев М.А.

Из соотношения P̂ (fi )(ai ψfi ) = ai ψfi = P̂ (fi )ψ следует, что P̂ 2 (fi ) = P̂ (fi ). Следовательно
P̂ (fi ) является проекционными оператором, проектирующим на состояние с определенными
значением fi физической величины f . Найдем среднее значение P̂ (fi ) по формуле
                                   Z
                       hP̂ (fi )i = ψ ∗ P̂ (fi )ψdV = |ai |2 ≡ |a(fi )|2 .

Следовательно, среднее значение hP̂ (fi )i дает вероятность значения fi величины f в рассмат-
риваемом состоянии.


                           Варианты индивидуального задания № 1

       1. Определить, являются ли следующие операторы линейными. Найти соответствую-
щие обратные операторы.
                                                             √
       a) оператор изменения масштаба M̂c : M̂c Ψ(x) =        cΨ(cx) (c > 0);
       b) оператор комплексного сопряжения K̂: K̂Ψ(x) = Ψ∗ (x).
       2. Доказать, что для любой наблюдаемой fˆ верно неравенство hfˆ2 i ≥ 0.
       3. Для самосопряженного оператора fˆ справедливо соотношение fˆ2 = cfˆ, где c ∈ R.
Каковы собственные значения данного оператора?
       4. Покажите, что Ψ – собственный вектор Â тогда и только тогда, когда hΨ|Â2 |Ψi =
hΨ|Â|Ψi2 .
       5. Доказать, что в стационарном состоянии точечного спектра среднее значение им-
пульса равно нулю, hp̂i = 0.
       6. Показать, что произвольный линейный оператор F̂ можно представить в виде F̂ =
 + iB̂, где  и B̂ – самосопряженные операторы.
       7. Найти собственные функции и собственные значения оператора трансляций T̂a , где
T̂a ψ(x) = ψ(x + a).
                                                           ∂
       8. Найти оператор, сопряженный к оператору L̂ = −i~   (r – радиальная переменная
                                                          ∂r
сферической системы координат). Является ли оператор L̂ самосопряженным?
       9. Найти в импульсном представлении вид волновой функции частицы, движущейся с
фиксированным импульсом p0 .
       10. Построить операторы трансляций для двух частиц, движущихся в трехмерном про-
странстве.
       11. Решить задачу на собственные функции и собственные значения оператора ком-
плексного сопряжения K̂.
       12. Найти вид оператора инверсии P̂ в импульсном представлении.
       13. Найти x̂˜ и p̂˜x при унитарных преобразованиях, осуществляемых операторами P̂
(инверсии) и T̂a (сдвига) в пространстве.
       14. Доказать, что произведение двух унитарных операторов является унитарным опе-
ратором.