Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. ОТРАЖЕНИЕ
ОТ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ БАРЬЕРОВ
Примеры решения задач
Задача 2.1. Найти энергетические уровни и нормированные волновые функции стационарных
состояний частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины a (т.е. в потенциале
U(x) = 0 при 0 < x < a и U(x) = ∞ при x < 0 и x > a).
Решение. Задача сводится к решению уравнения Шрёдингера
−
~
2
2m
d
2
ψ(x)
dx
2
= Eψ(x) (67)
с граничными условиями ψ(0) = ψ(a) = 0 (в силу непрерывности волновой функции).
Преобразуем (67) к виду
d
2
ψ(x)
dx
2
+ k
2
ψ(x) = 0, (68)
где k
2
=
2m
~
2
E. Общее решение уравнения (68) хорошо известно
ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx). (69)
Из граничного условия ψ(0) = 0 заключаем, что B = 0, а из граничного условия ψ(a) = 0
следует, что на величину k необходимо наложить следующее условие
ka = πn, где n ∈ N
Это соотношение дает квантование энергетического спектра частицы
E
n
=
~
2
π
2
2ma
2
n
2
. (70)
Условие нормировки волновой функции
A
2
a
Z
0
sin
2
(kx)dx = 1
дает для константы A следующее значение
A =
r
2
a
.
Задача 2.2. Определить коэффициент отражения частицы от потенциальной стенки вида
U(x) =
0, x < 0,
U
0
, x ≥ 0.
                   ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. ОТРАЖЕНИЕ
                      ОТ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ БАРЬЕРОВ


                                  Примеры решения задач

Задача 2.1. Найти энергетические уровни и нормированные волновые функции стационарных
состояний частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины a (т.е. в потенциале
U (x) = 0 при 0 < x < a и U (x) = ∞ при x < 0 и x > a).
Решение. Задача сводится к решению уравнения Шрёдингера

                                         ~2 d2 ψ(x)
                                    −               = Eψ(x)                         (67)
                                         2m dx2
с граничными условиями ψ(0) = ψ(a) = 0 (в силу непрерывности волновой функции).
       Преобразуем (67) к виду

                                     d2 ψ(x)
                                             + k 2 ψ(x) = 0,                        (68)
                                       dx2
            2m
где k 2 =      E. Общее решение уравнения (68) хорошо известно
            ~2
                                 ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx).                      (69)

Из граничного условия ψ(0) = 0 заключаем, что B = 0, а из граничного условия ψ(a) = 0
следует, что на величину k необходимо наложить следующее условие

                                     ka = πn, где n ∈ N

Это соотношение дает квантование энергетического спектра частицы

                                                     ~2 π 2 2
                                             En =          n.                       (70)
                                                     2ma2
Условие нормировки волновой функции
                                             Za
                                         2
                                     A            sin2 (kx)dx = 1
                                             0

дает для константы A следующее значение
                                                       r
                                                           2
                                                  A=         .
                                                           a
Задача 2.2. Определить коэффициент отражения частицы от потенциальной стенки вида
                                       
                                       0, x < 0,
                               U (x) =
                                       U , x ≥ 0.
                                                       0

Страницы