Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

Электронные учебники МГУ им. Н.П. Огарева 27
Рассмотреть предельные случаи E → U
0
и E → ∞.
Решение. Воспользуемся выражениями
ψ(x) ≈ A(E)e
ik
2
x
, (71)
и
ψ(x) ≈ e
ik
1
x
+ B(E)e
−ik
1
x
, (72)
для прошедшей и отраженной волны. Здесь k
2
=
1
~
p
2m(E − U
2
) и k
1
=
1
~
p
2m(E − U
1
). В
нашем случае U
1
= 0, а U
2
= U
0
. Коэффициенты A(E) и B(E) найдем из условия непрерыв-
ности волновой функции и ее производной в точке x = 0. Условие непрерывности волновой
функции дает
1 + B = A.
Из условия непрерывности производной получим
k
1
(1 − B) = k
2
A.
Решая эти два уравнения, получим
A(E) =
k
1
− k
2
k
1
+ k
2
, B(E) =
2k
1
k
1
+ k
2
.
Теперь найдем коэффициенты прохождения и отражения по формулам
D(E) =
k
2
k
1
|A|
2
, R(E) = |B|
2
. (73)
Получим
D(E) =
4
p
E(E − U
0
)
(
√
E +
√
E − U
0
)
2
, R(E) =
√
E −
√
E − U
0
√
E +
√
E − U
0
!
2
. (74)
Из (74) следует, что R(E) + D(E) = 1.
Устремим E → U
0
. Из (74) видно, что в этом случае D(E) → 0, а R(E) → 1. При
E → ∞ имеем R(E) → 0, а D(E) → 1.
Варианты индивидуального задания № 2
1. Найти уровни энергии и нормированные волновые функции стационарных состояний
дискретного спектра частицы в поле U(x) = −αδ(x) (α > 0). Вычислить средние значения
кинетической и потенциальной энергии в этих состояниях.
2. Найти спектр и волновые функции стационарных состояний заряженного осцилля-
тора при наложении на него однородного электрического поля, направленного вдоль оси ко-
лебаний.
Электронные учебники МГУ им. Н.П. Огарева                                              27

Рассмотреть предельные случаи E → U0 и E → ∞.
Решение. Воспользуемся выражениями

                                     ψ(x) ≈ A(E)eik2 x ,                              (71)

и
                                 ψ(x) ≈ eik1 x + B(E)e−ik1 x ,                       (72)
                                                   1p                    1p
для прошедшей и отраженной волны. Здесь k2 =          2m(E − U2 ) и k1 =    2m(E − U1 ). В
                                                   ~                     ~
нашем случае U1 = 0, а U2 = U0 . Коэффициенты A(E) и B(E) найдем из условия непрерыв-
ности волновой функции и ее производной в точке x = 0. Условие непрерывности волновой
функции дает
                                         1 + B = A.

Из условия непрерывности производной получим

                                     k1 (1 − B) = k2 A.

Решая эти два уравнения, получим

                                     k1 − k2            2k1
                            A(E) =           , B(E) =         .
                                     k1 + k2          k1 + k2

Теперь найдем коэффициенты прохождения и отражения по формулам

                                        k2 2
                             D(E) =        |A| ,   R(E) = |B|2 .                      (73)
                                        k1

Получим
                         p                                 √    √       !2
                        4 E(E − U0 )                        E − E − U0
                D(E) = √   √          , R(E) =             √    √          .          (74)
                      ( E + E − U0 )2                        E + E − U0
Из (74) следует, что R(E) + D(E) = 1.
      Устремим E → U0 . Из (74) видно, что в этом случае D(E) → 0, а R(E) → 1. При
E → ∞ имеем R(E) → 0, а D(E) → 1.


                       Варианты индивидуального задания № 2

      1. Найти уровни энергии и нормированные волновые функции стационарных состояний
дискретного спектра частицы в поле U (x) = −αδ(x) (α > 0). Вычислить средние значения
кинетической и потенциальной энергии в этих состояниях.
      2. Найти спектр и волновые функции стационарных состояний заряженного осцилля-
тора при наложении на него однородного электрического поля, направленного вдоль оси ко-
лебаний.

Страницы