Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

Электронные учебники МГУ им. Н.П. Огарева 25
15. Найти в импульсном представлении вид операторов ˆr
−1
и ˆr
−2
.
16. Найти в импульсном представлении вид волновой функции частицы, локализован-
ной в точке r
0
.
17. Известно, что [
ˆ
A,
ˆ
B] =
ˆ
E. Найти [
ˆ
A,
ˆ
B
2
].
18. В момент t = 0 частица описывается волновой функцией Ψ(x, 0) = A exp(−
x
2
a
2
+
ikx). Найти Ψ(x, t).
19. Получить неравенство Гайзенберга для операторов ˆx и F (ˆp
x
), где F (y) =
P
∞
n=0
a
n
y
n
.
20. Получить неравенство Гайзенберга для операторов ˆx и ˆp
2
x
.
21. Свободная частица имеет в момент времени t = 0 состояние Ψ(x, 0) =
r
2
π~
sin
xp
0
~
.
Найти волновую функцию в момент времени t.
22. Пусть коммутатор операторов
ˆ
A и
ˆ
B является числом [
ˆ
A,
ˆ
B] = ic. Покажите, что
справедливо соотношение
exp[λ(
ˆ
A +
ˆ
B)] = exp(λ
ˆ
A) exp(λ
ˆ
B) exp(−icλ
2
/2).
23. Найти собственные функции и собственные значения физической величины, пред-
ставляющей линейную комбинацию одноименных компонент импульса и координаты частицы
ˆ
f = αˆp
x
+ βˆx.
24. Показать, что для двух частиц при отсутствии внешних сил средний импульс явля-
ется интегралом движения.
25. Пусть
ˆ
P
α
– проекционный оператор, соответствующий результату α эксперимента,
а
ˆ
P
β
– соответствующий результату β эксперимента и α 6= β. Покажите, что
ˆ
P
α
ˆ
P
β
= 0.
26. Найти явный вид оператора
ˆ
F = exp
ax
d
dx
.
27. Найти проекционные операторы, проектирующие пространство Гильберта на под-
пространства четных и нечетных векторов состояний системы соответственно.
28. Найти проекционный оператор, проектирующий пространство состояний системы
на подпространство состояний, в которых координата системы x ≥ 0.
29. Показать, что если оператор
ˆ
F – самосопряженный, то оператор U = exp(i
ˆ
F )
является унитарным.
30. Какой вид имеет ядро F(x, x
0
) оператора
ˆ
F , если этот оператор коммутирует с опе-
ратором импульса ˆp
x
?
Электронные учебники МГУ им. Н.П. Огарева                                                          25

       15. Найти в импульсном представлении вид операторов r̂−1 и r̂−2 .
       16. Найти в импульсном представлении вид волновой функции частицы, локализован-
ной в точке r0 .
       17. Известно, что [Â, B̂] = Ê. Найти [Â, B̂ 2 ].
                                                                                                x2
       18. В момент t = 0 частица описывается волновой функцией Ψ(x, 0) = A exp(−                  +
                                                                                                a2
ikx). Найти Ψ(x, t).
                                                                                        P∞
       19. Получить неравенство Гайзенберга для операторов x̂ и F (p̂x ), где F (y) =     n=0   an y n .
       20. Получить неравенство Гайзенберга для операторов x̂ и      p̂2x .       r
                                                                                         2      xp 
                                                                                                    0
       21. Свободная частица имеет в момент времени t = 0 состояние Ψ(x, 0) =              sin        .
                                                                                        π~        ~
Найти волновую функцию в момент времени t.
       22. Пусть коммутатор операторов Â и B̂ является числом [Â, B̂] = ic. Покажите, что
справедливо соотношение

                         exp[λ( + B̂)] = exp(λÂ) exp(λB̂) exp(−icλ2 /2).

       23. Найти собственные функции и собственные значения физической величины, пред-
ставляющей линейную комбинацию одноименных компонент импульса и координаты частицы
fˆ = αp̂x + β x̂.
       24. Показать, что для двух частиц при отсутствии внешних сил средний импульс явля-
ется интегралом движения.
       25. Пусть P̂α – проекционный оператор, соответствующий результату α эксперимента,
а P̂β – соответствующий результату β эксперимента
                                               иα    6= β. Покажите, что P̂α P̂β = 0.
                                                   d
        26. Найти явный вид оператора F̂ = exp ax     .
                                                  dx
        27. Найти проекционные операторы, проектирующие пространство Гильберта на под-
пространства четных и нечетных векторов состояний системы соответственно.
       28. Найти проекционный оператор, проектирующий пространство состояний системы
на подпространство состояний, в которых координата системы x ≥ 0.
       29. Показать, что если оператор F̂ – самосопряженный, то оператор U = exp(iF̂ )
является унитарным.
       30. Какой вид имеет ядро F (x, x0 ) оператора F̂ , если этот оператор коммутирует с опе-
ратором импульса p̂x ?

Страницы