Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Эволюция состояний
В силу принципа причинности состояние замкнутой системы в любой момент вре-
мени должно однозначно определяться по ее предшествующему состоянию. Следовательно
эволюция состояний в квантовой механике должна описываться некоторым оператором
ˆ
U(t)
в соответствии с формулой
Ψ(q, t) =
ˆ
U(t)Ψ(q, 0). (32)
Под q здесь понимается набор всех обобщенных координат системы. Поскольку число частиц
в системе в нерелятивистской теории является постоянным, нормировка вектора Ψ долж-
на сохраняться со временем. Следовательно, оператор
ˆ
U должен быть линейным унитарным
оператором. Любой унитарный оператор может быть представлен в виде
ˆ
U(t) = exp(i
ˆ
A(t)), (33)
где
ˆ
A(t) – эрмитов оператор. Кроме того, оператор
ˆ
U должен обладать свойством
ˆ
U(t
1
+ t
2
) =
ˆ
U(t
1
)
ˆ
U(t
2
), (34)
поскольку процесс эволюции от момента времени t = 0 до момента времени t = t
1
+ t
2
мож-
но рассматривать как последовательность двух эволюционных процессов. Из формулы (34)
следует, что оператор
ˆ
A(t) линейно зависит от времени, то есть может быть представлен в
виде
ˆ
A(t) = −
1
~
ˆ
Ht. (35)
Здесь
ˆ
H – оператор Гамильтона системы (гамильтониан), который для замкнутой си-
стемы не зависит от времени, ~ – некоторая постоянная, называемая постоянной Планка.
Численное значение постоянной Планка может быть найдено из сравнения результатов тео-
рии с экспериментом. Знак правой части выражения (35) мог быть выбран произвольно, но в
соответствии с традициями принято использовать знак «минус».
Поскольку оператор
ˆ
H является самосопряженным оператором, ему соответствует неко-
торая физическая величина. Как будет показано ниже из сравнения классической и квантовой
теорий, этой величиной является полная энергия системы.
Поставив выражения (33) и (35) в формулу (32), получим
Ψ(q, t) = exp
−
i
~
ˆ
Ht
Ψ(q, 0). (36)
Полученное уравнение является уравнением эволюции в квантовой механике (в интегральной
форме).
          МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ


                                 Эволюция состояний

       В силу принципа причинности состояние замкнутой системы в любой момент вре-
мени должно однозначно определяться по ее предшествующему состоянию. Следовательно
эволюция состояний в квантовой механике должна описываться некоторым оператором Û (t)
в соответствии с формулой
                                  Ψ(q, t) = Û (t)Ψ(q, 0).                          (32)

Под q здесь понимается набор всех обобщенных координат системы. Поскольку число частиц
в системе в нерелятивистской теории является постоянным, нормировка вектора Ψ долж-
на сохраняться со временем. Следовательно, оператор Û должен быть линейным унитарным
оператором. Любой унитарный оператор может быть представлен в виде

                                    Û (t) = exp(iÂ(t)),                           (33)

где Â(t) – эрмитов оператор. Кроме того, оператор Û должен обладать свойством

                                 Û (t1 + t2 ) = Û (t1 )Û (t2 ),                  (34)

поскольку процесс эволюции от момента времени t = 0 до момента времени t = t1 + t2 мож-
но рассматривать как последовательность двух эволюционных процессов. Из формулы (34)
следует, что оператор Â(t) линейно зависит от времени, то есть может быть представлен в
виде
                                                1
                                       Â(t) = − Ĥt.                               (35)
                                                ~
Здесь Ĥ – оператор Гамильтона системы (гамильтониан), который для замкнутой си-
стемы не зависит от времени, ~ – некоторая постоянная, называемая постоянной Планка.
Численное значение постоянной Планка может быть найдено из сравнения результатов тео-
рии с экспериментом. Знак правой части выражения (35) мог быть выбран произвольно, но в
соответствии с традициями принято использовать знак «минус».
       Поскольку оператор Ĥ является самосопряженным оператором, ему соответствует неко-
торая физическая величина. Как будет показано ниже из сравнения классической и квантовой
теорий, этой величиной является полная энергия системы.
       Поставив выражения (33) и (35) в формулу (32), получим
                                                 
                                             i
                            Ψ(q, t) = exp − Ĥt Ψ(q, 0).                            (36)
                                             ~

Полученное уравнение является уравнением эволюции в квантовой механике (в интегральной
форме).

Страницы