Методические указания к курсу "Атомная спектроскопия". Шунина В.А - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
3. Вероятности квантовых переходов
Теория квантовых переходов электрона подробно рассматривается в курсе
квантовой механики [1] в рамках нестационарной теории возмущений. В качестве
возмущения рассматривается взаимодействие электрона с электромагнитной
волной . Оператор возмущения имеет вид
it † it
ˆˆ
ˆ
H(t)hehe
ω−ω
′
=+ ,
где
ikr
e2N
ˆ
ˆ
he(up)
mV
−
π
=−
ω
r
r
h
r
.
Здесь e, m,
r
r
и
p
r
– заряд, масса , радиус-вектор и импульс электрона в
электромагнитном поле в объеме V, содержащем N фотонов с энергией
ω
h
,
волновым вектором
k
r
и поляризацией
u
r
. Можно показать, что при
it
ˆ
ˆ
H(t)he
ω
′
=
электрон теряет энергию
ω
h
при квантовом переходе, а при
† it
ˆ
ˆ
H(t)he
−ω
′
=
-
приобретает энергию
ω
h
. Вероятность квантового перехода записывается в виде
2
iffifi
2
wh()
π
=δε−ε+ω
h
h
,
(3.1)
где
fi
h
- матричный элемент
ˆ
h
на волновых функциях конечного и начального
состояний,
i
ε
и
f
ε
- энергии начального и конечного состояний, причем
fi
ε=ε±ω
h
(“+” соответствует поглощению, а “─“ - излучению).
Пусть имеет место излучение. В этом случае
ikr
fi
e2N
hf|e(up)|i
mV
−
π
=−
ω
r
r
r
hr
.
В случае атомных систем волновые функции дискретных состояний отличны от
нуля только в области размеров атома (a ~ 1 Å ). Следовательно, интегрирование в
матричном элементе существенно только для r ≤ a. Оценим ka = 2πa / λ . Для
длинноволновой области инфракрасного излучения ka ~ 10
-7
, а для
коротковолновой области вакуумного ультрафиолета ka ~ 10
-2
. Следовательно,
для световых волн экспоненту в матричном элементе можно разложить в ряд 
                                                  18




3. Вер оятнос тикв антов ы х пер ех одов

        Теори я к в ан тов ых переходов эл ек трон а подробн о рассматри в ается в к у рсе
к в ан тов ой механ и к и [1] в рамк ах н естаци он арн ой теори и в озму щ ен и й . В к ачеств е
в озму щ ен и я рассматри в ается в заи модей ств и е эл ек трон а с эл ек тромагн и тн ой
в ол н ой . О ператор в озму щ ен и я и меет в и д

                                 Ĥ′(t) = hˆ eiωt + hˆ† e− iωt ,
где

                                        e 2πhN − ikrrr r rˆ
                               ĥ = −         e (up) .
                                        m ωV
                r     r
З десь e, m, r и p – заряд, масса, ради у с-в ек тор и и мпу л ьс эл ек трон а в
эл ек тромагн и тн ом пол е в объеме V, содерж ащ ем N ф отон ов с эн ерги ей hω ,
                         r                   r
в ол н ов ы м в ек тором k и пол яри заци ей u . М ож н о пок азать, что при Ĥ′(t) = hˆ eiωt
эл ек трон теряет эн ерги ю hω при к в ан тов ом переходе, а при Ĥ′(t) = hˆ† e − iωt -
при обретает эн ерги ю hω . В ероятн ость к в ан тов ого перехода запи сы в ается в в и де

                                     2π
                           w if =       h fi δ(ε f − εi + hω) ,
                                            2
                                                                                           (3.1)
                                      h

где h fi - матри чн ый эл емен т ĥ н а в ол н ов ых ф у н к ци ях к он ечн ого и н ачал ьн ого
состоян и й , εi и εf - эн ерги и н ачал ьн ого и к он ечн ого состоян и й , при чем
εf = εi ± hω (“+”соотв етств у ет погл ощ ен и ю, а “─ “- и зл у чен и ю).
      П у сть и меет место и зл у чен и е. В этом сл у чае

                                     e 2πhN          rr
                                                         rr
                          h fi = −          f | e − ikr (up) | i   .
                                     m ωV

В сл у чае атомн ых си стем в ол н ов ы е ф у н к ци и ди ск ретн ы х состоян и й отл и чн ы от
н у л я тол ьк о в обл асти размеров атома (a ~ 1 Å ). Сл едов ател ьн о, и н тегри ров ан и е в
матри чн ом эл емен те су щ еств ен н о тол ьк о дл я r ≤ a. О цен и м ka = 2π a / λ . Дл я
дл и н н ов ол н ов ой обл асти и н ф рак расн ого и зл у чен и я ka ~ 10-7, а дл я
к оротк ов ол н ов ой обл асти в ак у у мн ого у л ьтраф и ол ета ka ~ 10-2. Сл едов ател ьн о,
дл я св етов ы х в ол н эк спон ен ту в матри чн ом эл емен те мож н о разл ож и ть в ряд

Страницы