ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
32
6.2. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Вид уравнения Способ нахождения общего
решения
1.
)(
)(
xfy
n
=
n раз проинтегрировать обе части
равенства
а) 0),,(
2
2
=
dx
yd
dx
dy
xF Замена )(xp
dx
dy
= ,
dx
dp
dx
yd
=
2
2
2.
б)
0
1
=
−
)y,y,x(F
)n()n(
Замена
)(
)1(
xpy
n
=
−
,
dx
dp
y
n
=
)(
а) 0),,(
2
2
=
dx
yd
dx
dy
yF Замена
)( yp
dx
dy
=
, p
dy
dp
dx
yd
⋅=
2
2
3.
б)
0
1
=
−
)y,y,y(F
)n()n(
Замена
)(
)1(
ypy
n
=
−
, p
dy
dp
y
n
⋅=
)(
6.3. Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными
коэффициентами
Рассмотрим уравнение
0...
)2(
2
)1(
1
)(
=++++
−−
yayayay
n
nnn
, (6)
где
Raaa
n
∈,...,,
21
.
Составим уравнение, называемое характеристическим уравнением,
0...
2
2
1
1
=++++
−−
n
nnn
ararar . (7)
По основной теореме алгебры уравнение (7) имеет
n
корней
n
rrr ,...,,
21
.
Вид корней характеристического
уравнения
Общее решение уравнения (6)
1.
Все корни
n
rrr ,...,,
21
действительны
и различны
xr
n
xrxr
n
eCeCeCy +++= ...
21
21
, (8)
где
∈
n
C,...,C,C
21
R произвольные
постоянные
2. Среди корней характеристического
уравнения
1
r
– действительный ко-
рень кратности
k (т.е.
k
rrr
=
=
= ...
21
)
Соответствующие
k слагаемых в (8)
заменим выражением
)...(
12
321
1
−
++++
k
k
xr
xCxCxCCe
3. Среди корней характеристического
уравнения
β
α
i
±
– пара однократ-
ных комплексно-сопряженных кор-
ней
Соответствующие слагаемые в (8)
заменим выражением
)xsinCxcosC(e
x
ββ
α
21
+
4. Среди корней характеристического
уравнения
β
α
i± – пара комплексно-
сопряженных корней, каждый из
которых имеет кратность
k
Соответствующие
k пар слагаемых
в (8) заменим выражением
]xsin)xC
~
...xC
~
xC
~
C
~
(
xcos)xC...xCxCC[(e
k
k
k
k
x
β
β
α
12
321
12
321
−
−
+++++
+++++
