ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
33
6.4.Неоднородные линейные дифференциальные уравнения высшего
порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим уравнение
)(...
1
1
)2(
2
)1(
1
)(
xfyayayayay
nn
nnn
=+++++
−
−−
, (9)
где
∈
n
a,...,a
1
R.
Общее решение уравнения (9) имеет вид
чн
yyy
+
=
00
, где
00
y – общее
решение однородного уравнения (см. п. 6.3),
чн
y – частное решение неодно-
родного уравнения.
Для некоторых специальных видов функций
)(xf
чн
y можно найти ме-
тодом неопределенных коэффициентов, используя следующую таблицу.
1.
)(xf
Корни характеристи-
ческого уравнения
чн
y
а)
0
- не корень харак-
теристического урав-
нения (7)
)(xQ
m
– многочлен степе-
ни
m
2.
)(xP
m
– многочлен сте-
пени
m
б)
0 - корень характе-
ристического уравне-
ния кратности
k
)(xQx
m
k
⋅
а) a – не корень ха-
рактеристического
уравнения
)(xQe
m
ax
⋅
3.
)(xPe
m
ax
,
где
)(xP
m
– многочлен
степени
m
б)
a
– корень характе-
ристического уравне-
ния кратности
k
)(xQex
m
axk
⋅⋅
а) bi – не корень харак-
теристического урав-
нения
bxsin)x(Rbxcos)x(T
mm
+ ,
где
)(xT
m
, )(xR
m
– много-
члены степени
m
4.
bxsin)x(Qbxcos)x(P
mm
+ ,
где
)(xP
m
, )(xQ
m
– мно-
гочлены степени не
выше
m , один из них
имеет степень
m
.
б)
bi
– корень характе-
ристического уравне-
ния кратности
k
]bxsin)x(R
bxcos)x(T[x
m
m
k
+
+
а)
iba
+
– не корень ха-
рактеристического
уравнения
]bxsin)x(R
bxcos)x(T[e
m
m
ax
+
+
5.
]bxsin)x(Q
bxcos)x(P[e
m
m
ax
+
+
б)
iba
+
–корень харак-
теристического урав-
нения кратности
k
]bxsin)x(R
bxcos)x(T[ex
m
m
axk
+
+
Замечание. Если
)()()(
21
xfxfxf
+
= , где )(
1
xf и )(
2
xf – функции из пер-
вого столбца таблицы, то
21 чнчнчн
yyy
+
=
, где
1чн
y и
2чн
y – функции из третьего
столбца, отвечающие
)(
1
xf и )(
2
xf .
