Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1 Определение аналитической функции 3
§1. Определение аналитической функции
1. Аналитическое продолжение вдоль цепочки областей
Рассмотрим некоторые способы аналитического продолжения за-
данных функций.
Определение 1. Пусть функция g(z) определена на множе-
стве E, функция f(z) регулярна в области D, содержащей множество
E, и
f(z) = g(z) при z ∈ E. (1)
Тогда функция f(z) называется аналитическим продолжением функ-
ции g(z) с множества E в область D.
Если для заданной функции g(z), z ∈ E, существует ее продол-
жение в область D ⊃ E, т.е. регулярная в области D функция f (z),
удовлетворяющая условию (1), то говорят, что “функцию g(z) можно
аналитически продолжить в область D” или “функция g(z) допускает
аналитическое продолжение в область D”.
Такое аналитическое продолжение может оказаться не единствен-
ным, например, если множество E состоит из конечного числа точек,
или если множество E состоит из бесконечного числа точек, но не
имеет предельных точек внутри области D.
Из теоремы единственности следует, что:
если множество E состоит из бесконечного числа различных
точек и имеет хотя бы одну предельную точку, принадлежащую
области D ⊃ E, то аналитическое продолжение с множества E в
область D единственно.
П р и м е р 1. Функции e
z
, sin z, cos z являются единственными
аналитическими продолжениями функций соответственно e
x
, sin x,
cos x с действительной оси во всю комплексную плос кость.
A
A
Функция tg z является единственным аналитическим продолже-
нием функции tg x с интервала −
π
2
< x <
π
2
во всю комплексную
плоскость с выколотыми точками z =
π
2
+ πk, k = 0 ± 1, ± 2, . . . .
              § 1 Определение аналитической функции               3


        § 1. Определение аналитической функции
1. Аналитическое продолжение вдоль цепочки областей
   Рассмотрим некоторые способы аналитического продолжения за-
данных функций.
   Определение 1.        Пусть функция g(z) определена на множе-
стве E, функция f (z) регулярна в области D, содержащей множество
E, и
                     f (z) = g(z) при z ∈ E.                    (1)

Тогда функция f (z) называется аналитическим продолжением функ-
ции g(z) с множества E в область D.
   Если для заданной функции g(z), z ∈ E, существует ее продол-
жение в область D ⊃ E, т.е. регулярная в области D функция f (z),
удовлетворяющая условию (1), то говорят, что “функцию g(z) можно
аналитически продолжить в область D” или “функция g(z) допускает
аналитическое продолжение в область D”.
   Такое аналитическое продолжение может оказаться не единствен-
ным, например, если множество E состоит из конечного числа точек,
или если множество E состоит из бесконечного числа точек, но не
имеет предельных точек внутри области D.
   Из теоремы единственности следует, что:
   если множество E состоит из бесконечного числа различных
точек и имеет хотя бы одну предельную точку, принадлежащую
области D ⊃ E, то аналитическое продолжение с множества E в
область D единственно.
    П р и м е р 1. Функции ez , sin z, cos z являются единственными
аналитическими продолжениями функций соответственно ex , sin x,
cos x с действительной оси во всю комплексную плоскость.
 A Функция tg z является единственным аналитическим продолже-
нием функции tg x с интервала − π2 < x < π2 во всю комплексную
плоскость с выколотыми точками z = π2 + πk, k = 0 ± 1, ± 2, . . . .

Страницы