Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

4 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
Функция ctg z является единственным аналитическим продолже-
нием функции ctg x с интервала 0 < x < π во всю комплексную плос-
кость с выколотыми точками z = πk, k = 0, ± 1, ± 2, . . . .
A
A
D
0
D
1
D
01
D
0
D
1
D
01
e
D
01
Рис. 1 Рис. 2
Определение 2. Пусть даны две области D
0
и D
1
такие, что
существует область D
01
, принадлежащая обеим областям D
0
и D
1
(рис. 1). Пусть функции f
0
(z), f
1
(z) регулярны в областях D
0
,D
1
соответственно, и эти функции совпадают в области D
01
, т.е.
f
1
(z) = f
0
(z), z ∈ D
01
.
Тогда функция f
1
(z) называется непосредственным аналитическим
продолжением функции f
0
(z) из области D
0
в область D
1
через
область D
01
.
Это продолжение единственно по теореме единственности.
Отметим, что в рассмотренной ситуации может оказаться, что
области D
0
и D
1
имеют, кроме области D
01
, и другие общие точки
(рис. 2), в которых значения функций f
0
(z) и f
1
(z) могут быть нерав-
ными. Но если f
0
(z) = f
1
(z) во вс ех общих точках областей D
0
и D
1
,
то функция
F (z) =
f
0
(z), если z ∈ D
0
,
f
1
(z), если z ∈ D
1
,
регулярна в области D = D
0
∪D
1
и является аналитическим продол-
жением функции f
0
(z) из области D
0
в область D в смысле определе-
ния 1.
4        Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции

   Функция ctg z является единственным аналитическим продолже-
нием функции ctg x с интервала 0 < x < π во всю комплексную плос-
кость с выколотыми точками z = πk, k = 0, ± 1, ± 2, . . . . A



                   D01                             D0          D01

                                                        D
                                                        e 01
         D0                       D1                                 D1

                   Рис. 1                                 Рис. 2

   Определение 2. Пусть даны две области D0 и D1 такие, что
существует область D01 , принадлежащая обеим областям D0 и D1
(рис. 1). Пусть функции f0 (z), f1 (z) регулярны в областях D0 ,D1
соответственно, и эти функции совпадают в области D01 , т.е.

                         f1 (z) = f0 (z),   z ∈ D01 .

Тогда функция f1 (z) называется непосредственным аналитическим
продолжением функции f0 (z) из области D0 в область D1 через
область D01 .
   Это продолжение единственно по теореме единственности.
   Отметим, что в рассмотренной ситуации может оказаться, что
области D0 и D1 имеют, кроме области D01 , и другие общие точки
(рис. 2), в которых значения функций f0 (z) и f1 (z) могут быть нерав-
ными. Но если f0 (z) = f1 (z) во всех общих точках областей D0 и D1 ,
то функция                  
                              f0 (z), если z ∈ D0 ,
                    F (z) =
                              f1 (z), если z ∈ D1 ,
регулярна в области D = D0 ∪ D1 и является аналитическим продол-
жением функции f0 (z) из области D0 в область D в смысле определе-
ния 1.

Страницы