Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

6 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
функция F (z) — это обобщение понятия регулярной функции. Анали-
тическая функция F (z) “составлена” или “склеена” из однозначных
элементов — регулярных функций.
Описанный общий подход к понятию аналитической функции ока-
зывается неудобным при изучении конкретных функций. Не теряя
общности, можно ограничиться рассмотрением цепочек областей, со-
стоящих из кругов с центрами на заданной кривой, т.е. аналитиче-
ским продолжением вдоль кривых.
2. Аналитическое продолжение вдоль кривой
Элементом в точке z
0
будем называть функцию f
0
(z), регуляр-
ную в некоторой окрестности точки z
0
, т.е. в круге K
0
: |z −z
0
| < R
0
,
R
0
> 0.
Определение 3. Пусть задана кривая γ с началом в точке a и
концом в точке b (рис. 4). И пусть в начальной точке z
0
= a задан эле-
мент f
0
(z), т.е. регулярная в круге K
0
: |z − z
0
| < R
0
функция f
0
(z).
Набор элементов f
j
(z), z ∈ K
j
: |z − z
j
| < R
j
, j = 1,2, . . . ,n, назы-
вается аналитическим продолжением элемента f
0
(z) вдоль кривой
γ, если:
1) точки a = z
0
,z
1
,z
2
, . . . ,z
n
= b принадлежат γ и занумерованы в
порядке ориентации кривой γ;
2) пересечение K
j−1
∩K
j
не пусто и f
j−1
(z) ≡ f
j
(z) при z ∈ K
j−1
∩K
j
для j = 1,2, . . . ,n;
3) дуга кривой γ от точки z
j−1
до z
j
принадлежит объединению
K
j−1
∪ K
j
для j = 0,1, . . . ,n.
При этом элемент f
n
(z) называется результатом аналитического
продолжения элемента f
0
(z) из точки a в точку b вдоль кривой γ.
Если для заданного элемента f
0
(z) в начальной точке кривой γ
существует аналитическое продолжение вдоль γ, то будем говорить,
что “элемент f
0
(z) можно аналитически продолжить вдоль кривой γ”
или “элемент f
0
(z) допускает аналитическое продолжение вдоль кри-
6         Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции


функция F (z) — это обобщение понятия регулярной функции. Анали-
тическая функция F (z) “составлена” или “склеена” из однозначных
элементов — регулярных функций.
   Описанный общий подход к понятию аналитической функции ока-
зывается неудобным при изучении конкретных функций. Не теряя
общности, можно ограничиться рассмотрением цепочек областей, со-
стоящих из кругов с центрами на заданной кривой, т.е. аналитиче-
ским продолжением вдоль кривых.

2. Аналитическое продолжение вдоль кривой
   Элементом в точке z0 будем называть функцию f0 (z), регуляр-
ную в некоторой окрестности точки z0 , т.е. в круге K0 : |z − z0 | < R0 ,
R0 > 0.

   Определение 3. Пусть задана кривая γ с началом в точке a и
концом в точке b (рис. 4). И пусть в начальной точке z0 = a задан эле-
мент f0 (z), т.е. регулярная в круге K0 : |z − z0 | < R0 функция f0 (z).
    Набор элементов fj (z), z ∈ Kj : |z − zj | < Rj , j = 1,2, . . . ,n, назы-
вается аналитическим продолжением элемента f0 (z) вдоль кривой
γ, если:
1) точки a = z0 ,z1 ,z2 , . . . ,zn = b принадлежат γ и занумерованы в
   порядке ориентации кривой γ;
2) пересечение Kj−1 ∩ Kj не пусто и fj−1 (z) ≡ fj (z) при z ∈ Kj−1 ∩ Kj
   для j = 1,2, . . . ,n;
3) дуга кривой γ от точки zj−1 до zj принадлежит объединению
   Kj−1 ∪ Kj для j = 0,1, . . . ,n.
   При этом элемент fn (z) называется результатом аналитического
продолжения элемента f0 (z) из точки a в точку b вдоль кривой γ.
   Если для заданного элемента f0 (z) в начальной точке кривой γ
существует аналитическое продолжение вдоль γ, то будем говорить,
что “элемент f0 (z) можно аналитически продолжить вдоль кривой γ”
или “элемент f0 (z) допускает аналитическое продолжение вдоль кри-

Страницы