Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

8 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
мент f
a
(z). Множество элементов f
ζ
(z), заданных во всех точках ζ ∈
∈ γ, называется аналитическим продолжением элемента f
a
(z) вдоль
кривой γ, если существует такая непрерывная на кривой γ функция
F
γ
(z), что выполняется условие (2).
Теорема 1. Аналитическое продолжение данного элемента вдоль
допустимой для него кривой единственно, т.е. определяет на этой
кривой единственную непрерывную функцию, а в каждой точке этой
кривой — единственный элемент, удовлетворяющий условию (2).
i
Пусть сначала γ — простая незамкнутая кривая (рис. 4). И пусть
два набора элементов f
j
(z), z ∈ K
j
, j = 1,2, . . . ,n, и
˜
f
j
(z), z ∈
˜
K
j
, j =
= 1,2, . . . ,˜n являются аналитическими продолжениями одного и того
же элемента f
0
(z), z ∈ K
0
, заданного в начальной точке z
0
кривой γ.
Тогда существует такая область D, содержащая кривую γ (окрест-
ность кривой γ), которая принадлежит как объединению кругов K
j
,
j = 0,1, . . . ,n, так и объединению кругов
˜
K
j
, j = 0,1, . . . ,˜n. В обла-
сти D функции f
j
(z), j = 0,1, . . . ,n определяют регулярную функцию
f(z), а функции
˜
f
j
(z), j = 1,2, . . . ,˜n — регулярную функцию
˜
f(z). По
условию в некоторой окрестности точки z
0
эти функции совпадают:
f(z) ≡
˜
f(z) = f
0
(z). По теореме единственности функции f (z) и
˜
f(z)
совпа дают во всей области D, в частности, на кривой γ и в окрест-
ности каждой точки ζ ∈ γ.
В общем случае кривую γ нужно разбить на конечное число про-
стых незамкнутых дуг и поочередно для каждой дуги провести пре-
дыдущие рассуждения.
y
Определение 5. Аналитической функцией с исходным эле-
ментом f
0
(z) (порожденной элементом f
0
(z)) называется множество
элементов, полученных в результате аналитического продолжения
элемента f
0
(z) вдоль всех допустимых для него кривых.
Аналитическую функцию с исходным элементом f
0
(z) будем обо-
значать F (z), хотя эта функция может быть неоднозначной как функ-
8           Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции


мент fa (z). Множество элементов fζ (z), заданных во всех точках ζ ∈
∈ γ, называется аналитическим продолжением элемента fa (z) вдоль
кривой γ, если существует такая непрерывная на кривой γ функция
Fγ (z), что выполняется условие (2).

   Теорема 1. Аналитическое продолжение данного элемента вдоль
допустимой для него кривой единственно, т.е. определяет на этой
кривой единственную непрерывную функцию, а в каждой точке этой
кривой — единственный элемент, удовлетворяющий условию (2).

    i Пусть сначала γ — простая незамкнутая кривая (рис. 4). И пусть
два набора элементов fj (z), z ∈ Kj , j = 1,2, . . . ,n, и f˜j (z), z ∈ K̃ j , j =
= 1,2, . . . ,ñ являются аналитическими продолжениями одного и того
же элемента f0 (z), z ∈ K0 , заданного в начальной точке z0 кривой γ.
Тогда существует такая область D, содержащая кривую γ (окрест-
ность кривой γ), которая принадлежит как объединению кругов Kj ,
j = 0,1, . . . ,n, так и объединению кругов K̃ j , j = 0,1, . . . ,ñ. В обла-
сти D функции fj (z), j = 0,1, . . . ,n определяют регулярную функцию
f (z), а функции f˜j (z), j = 1,2, . . . ,ñ — регулярную функцию f˜(z). По
условию в некоторой окрестности точки z0 эти функции совпадают:
f (z) ≡ f˜(z) = f0 (z). По теореме единственности функции f (z) и f˜(z)
совпадают во всей области D, в частности, на кривой γ и в окрест-
ности каждой точки ζ ∈ γ.
   В общем случае кривую γ нужно разбить на конечное число про-
стых незамкнутых дуг и поочередно для каждой дуги провести пре-
дыдущие рассуждения.           y

   Определение 5.       Аналитической функцией с исходным эле-
ментом f0 (z) (порожденной элементом f0 (z)) называется множество
элементов, полученных в результате аналитического продолжения
элемента f0 (z) вдоль всех допустимых для него кривых.
   Аналитическую функцию с исходным элементом f0 (z) будем обо-
значать F (z), хотя эта функция может быть неоднозначной как функ-

Страницы