Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2 Логарифмическая функция 9
ция точки плоскости z. Значениями функции F (z) в точке z будем
называть значения всех ее элементов в этой точке.
Начнем изучать конкретные аналитические функции.
§2. Логарифмическая функция
1. Определени е логарифмической функции
В курсе математического анализа логарифмическая функция ln x
определяется при x > 0 и изучаются ее свойства. Естественно опре-
делить логарифмическую функцию для комплексных значений z как
аналитическое продолжение функции ln x. Рассмотрим наиболее про-
стой способ осуществления такого аналитического продолжения.
В курсе математического анализа доказывается, что функция ln x
на интервале 0 < x < 2 представляется рядом Тейлора
ln x = ln [1 + (x − 1)] =
∞
X
n=1
(−1)
n−1
n
(x − 1)
n
,
сходящимся к этой функции на интервале (0,2).
Этот ряд при комплексных значениях z обозначим f
0
(z), т.е.
f
0
(z) =
∞
X
n=1
(−1)
n−1
n
(z −1)
n
, z ∈ K
0
: |z −1| < 1. (1)
Ряд (1) сходится в круге K
0
, т.е. является элементом в точке
z
0
= 1, и f
0
(x) = ln x при 0 < x < 2. Следовательно, функция
f
0
(z) является аналитическим продолжением (и притом единствен-
ным) функции ln x с интервала 0 < x < 2 в круг K
0
.
Аналитическую функцию с исходным элементом (1) назовем ло-
гарифмической и обозначим Ln z.
2. Свойства логарифмической функции
Свойство 1. Элемент (1) можно представить интегралом
f
0
(z) =
z
Z
1
dζ
ζ
, z ∈ K
0
, (2)
                      § 2 Логарифмическая функция                      9


ция точки плоскости z. Значениями функции F (z) в точке z будем
называть значения всех ее элементов в этой точке.
   Начнем изучать конкретные аналитические функции.

               § 2. Логарифмическая функция
1. Определение логарифмической функции
   В курсе математического анализа логарифмическая функция ln x
определяется при x > 0 и изучаются ее свойства. Естественно опре-
делить логарифмическую функцию для комплексных значений z как
аналитическое продолжение функции ln x. Рассмотрим наиболее про-
стой способ осуществления такого аналитического продолжения.
   В курсе математического анализа доказывается, что функция ln x
на интервале 0 < x < 2 представляется рядом Тейлора
                                        ∞
                                        X (−1)n−1
            ln x = ln [1 + (x − 1)] =                 (x − 1)n ,
                                                 n
                                        n=1
сходящимся к этой функции на интервале (0,2).
   Этот ряд при комплексных значениях z обозначим f0 (z), т.е.
                    ∞
                    X (−1)n−1
         f0 (z) =               (z − 1)n ,    z ∈ K0 : |z − 1| < 1.   (1)
                          n
                    n=1
    Ряд (1) сходится в круге K0 , т.е. является элементом в точке
z0 = 1, и f0 (x) = ln x при 0 < x < 2. Следовательно, функция
f0 (z) является аналитическим продолжением (и притом единствен-
ным) функции ln x с интервала 0 < x < 2 в круг K0 .
    Аналитическую функцию с исходным элементом (1) назовем ло-
гарифмической и обозначим Ln z.
2. Свойства логарифмической функции
   Свойство 1. Элемент (1) можно представить интегралом
                            Zz
                               dζ
                   f0 (z) =       , z ∈ K0 ,                          (2)
                                ζ
                                 1

Страницы