Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

10 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
по любой кривой γ, лежащей в круге K
0
.
i
Докажем равенство (2) с помощью теоремы единственности.
1. Функция f
0
(z), заданная формулой (1), регулярна в круге K
0
.
2. Интеграл, стоящий в правой части равенства (2), не зависит
от пути интегрирования γ и является регулярной в круге K
0
функцией, так как подынтегральная функция регулярна в круге
K
0
.
3. Если x ∈ (0,2), то при действительных ζ = t интеграл (2) равен
x
R
1
dt
t
= ln x.
По теореме единственности интеграл (2) совпадает с функцией (1)
во всем круге K
0
, т.е. верна формула (2).
y
Свойство 2.
0
γ
K
1
1
z
1
z
Рис. 5.
Элемент (1) можно аналитически про-
должить по любой кривой γ с началом
в точке z = 1, не проходящей через
точку z = 0, и это продолжение опреде-
ляет на кривой γ непрерывную функ-
цию
F
γ
(z) =
z
Z
1
dζ
ζ
, z ∈ γ, (3)
а в каждой точке z
1
∈ γ — элемент
f
1
(z) =
z
1
Z
1
dζ
ζ
+
z
Z
z
1
dζ
ζ
,z ∈ K
1
: |z − z
1
| < R
1
6 |z
1
|, (4)
где правая часть формулы (3) и первое слагаемое в правой части ра-
венства (4) — это интегралы по кривой γ, а второе слагаемое в пра-
вой части равенства (4) — это интеграл по любой кривой, лежащей
в круге K
1
(рис. 5).
10          Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции

по любой кривой γ, лежащей в круге K0 .
 i Докажем равенство (2) с помощью теоремы единственности.
     1. Функция f0 (z), заданная формулой (1), регулярна в круге K0 .
     2. Интеграл, стоящий в правой части равенства (2), не зависит
        от пути интегрирования γ и является регулярной в круге K0
        функцией, так как подынтегральная функция регулярна в круге
        K0 .
     3. Если x ∈ (0,2), то при действительных ζ = t интеграл (2) равен
        Rx dt
           t = ln x.
       1
      По теореме единственности интеграл (2) совпадает с функцией (1)
во всем круге K0 , т.е. верна формула (2).                     y

   Свойство 2.
Элемент (1) можно аналитически про-
должить по любой кривой γ с началом
в точке z = 1, не проходящей через                          K1
                                                                        z
точку z = 0, и это продолжение опреде-                                        γ
ляет на кривой γ непрерывную функ-                                 z1
цию
                      Zz
                              dζ                                                  0   1
           Fγ (z) =              ,   z ∈ γ,         (3)
                               ζ
                      1
                                                                            Рис. 5.
а в каждой точке z1 ∈ γ — элемент
                          Zz1          Zz
                                dζ          dζ
            f1 (z) =               +           ,z ∈ K1 : |z − z1 | < R1 6 |z1 |,          (4)
                                ζ            ζ
                          1            z1

где правая часть формулы (3) и первое слагаемое в правой части ра-
венства (4) — это интегралы по кривой γ, а второе слагаемое в пра-
вой части равенства (4) — это интеграл по любой кривой, лежащей
в круге K1 (рис. 5).

Страницы