Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

12 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
и поэтому
f
1
(z
1
) =
β
Z
α
r
0
(t)
r(t)
dt + i
β
Z
α
ϕ
0
(t) dt = ln r(β) − ln r(α) + i[ϕ(β) − ϕ(α)].
Так как r(β) = |z
1
|, r(α) = 1, то обозначая ∆ϕ = ϕ(β) − ϕ(α),
получаем
f
1
(z
1
) = ln |z
1
| + i∆ϕ, (7)
где ∆ϕ — угол поворота вектора z при движении точки z по кривой
γ от точки z = 1 до точки z
1
(рис. 6). Этот угол будем называть при-
ращением аргумента z вдоль кривой γ и обозначать ∆
γ
arg z (рис. 6).
Приращение аргумента обычно будем находить геометрически из ри-
сунка (см. ниже пример 1). Свойства приращения аргумента будут
рассмотрены в п.1, §5.
0
∆
ϕ
=
∆
γ
arg
z
γ
1
z
1
0
ϕ
=
∆
ϕ
ϕ
−
2
π
γ
γ
1
γ
2
1
z
1
Рис. 6 Рис. 7
Из ф ормулы (7) следует, что элемент f
0
(z), заданный формулой
(1), нельзя аналитически продолжить по кривой γ (с началом в точке
z = 1), проходящей через точку z = 0. В самом деле, аналитиче-
ское продолжение должно определять на такой кривой γ непрерывную
функцию F
γ
(z), значения которой в точках кривой γ от точки z = 1
до точки z = 0 в силу формулы (7) находятся по формуле F
γ
(z) =
12            Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции

и поэтому

              Zβ                         Zβ
                   r0 (t)
 f1 (z1 ) =               dt + i              ϕ0 (t) dt = ln r(β) − ln r(α) + i[ϕ(β) − ϕ(α)].
                   r(t)
              α                          α

   Так как r(β) = |z1 |, r(α) = 1, то обозначая ∆ϕ = ϕ(β) − ϕ(α),
получаем
                        f1 (z1 ) = ln |z1 | + i∆ϕ,            (7)
где ∆ϕ — угол поворота вектора z при движении точки z по кривой
γ от точки z = 1 до точки z1 (рис. 6). Этот угол будем называть при-
ращением аргумента z вдоль кривой γ и обозначать ∆γ arg z (рис. 6).
Приращение аргумента обычно будем находить геометрически из ри-
сунка (см. ниже пример 1). Свойства приращения аргумента будут
рассмотрены в п.1, §5.
                                                                              γ2

                                                                          γ
     z1
                                 γ                         z1
              ∆ϕ
                   =                                                 ϕ=
                       ∆                                                  ∆ϕ
                       γ   arg
                                 z
                                                                   ϕ −0            1
                       0             1                            γ1 2π


                   Рис. 6                                           Рис. 7

    Из формулы (7) следует, что элемент f0 (z), заданный формулой
(1), нельзя аналитически продолжить по кривой γ (с началом в точке
z = 1), проходящей через точку z = 0. В самом деле, аналитиче-
ское продолжение должно определять на такой кривой γ непрерывную
функцию Fγ (z), значения которой в точках кривой γ от точки z = 1
до точки z = 0 в силу формулы (7) находятся по формуле Fγ (z) =

Страницы