Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 11 стр.

                     § 2 Логарифмическая функция                       11


 i Докажем, что элементы (4) удовлетворяют определению 4, §1.

  1. Интеграл (3) является непрерывной функцией на кривой γ как
     интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной на γ
     функции.
  2. Функция (4) является элементом в точке z1 , т.е. регулярной в
     круге K1 функцией, так как первый из интегралов в формуле (4)
     не зависит от z, а второй интеграл не зависит от пути интегри-
     рования и является регулярной в круге K1 функцией, так как
     подынтегральная функция регулярна в круге K1 .
  3. Пусть в формуле (4) точка z принадлежит дуге кривой γ, лежа-
     щей в круге K1 . Выберем во втором интеграле (4) путь интегри-
     рования от z1 до z по кривой γ. Тогда по свойствам интегралов
     сумма интегралов (4) равна интегралу (3), т.е. f1 (z) = Fγ (z),
     если z принадлежит дуге кривой γ, лежащей в некоторой окрест-
       ности точки z1 .    y

   Свойство 3. Все значения функции Ln z в точке z 6= 0 определя-
ются формулой
                           Ln z = ln |z| + i arg z,                    (5)

т.е.
             Ln z = ln |z| + i(ϕ + 2πk),     k = 0 ± 1, ± 2, . . . ,   (6)

где ϕ — одно из значений arg z.

 i Вычислим первый интеграл в формуле (4), т.е. найдем f (z ).
                                                        1 1
   Пусть ζ(t) = r(t)eiϕ(t) , α 6 t 6 β — параметрическое уравнение
кривой γ с началом в точке z = 1 и концом в точке z1 . Тогда

                  dζ = r0 (t)eiϕ(t) dt + ir(t)ϕ0 (t)eiϕ(t) dt,

                          dζ   r0 (t)
                             =        dt + iϕ0 (t) dt
                           ζ   r(t)