Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2 Логарифмическая функция 13
= ln |z|+ i∆
γ
arg z, но ln |z| → ∞ при z → 0 и поэтому F
γ
(z) → ∞ при
z → 0, z ∈ γ.
Таким образом, функция Ln z — это множество элементов вида
(4), где z
1
— любая точка, z
1
6= 0, а γ — различные кривые, не
проходящие через точку z = 0, с началом в точке z = 1 и концом в
точке z
1
.
Заметим, что в формуле (7) ∆ϕ = ϕ — одно из значений arg z
1
(рис. 7), причем в зависимости от того, сколько оборотов вокруг
точки z = 0 делает кривая γ (по часовой или против часовой стрелки),
ϕ — может быть любым значением arg z
1
(на рис. 7 ∆
γ
1
arg z = ϕ +
+ 2π , ∆
γ
2
arg z = ϕ − 2π). Следовательно, все значения функции Ln z
в точке z
1
6= 0 определяются формулой
Ln z
1
= ln |z
1
| + i(ϕ + 2πk), k = 0, ±1, ± 2, . . . , (8)
где ϕ — одно из значений arg z
1
.
Так как в формуле (8) z
1
6= 0 — любая точка, то, обозначая z
1
=
= z, получаем формулу (6), которую кратко можно записать в виде
(5).
y
П р и м е р 1. Вычислим по формуле (7) значение Ln z в задан-
ной точке z
1
, полученное в результате аналитического продолжения
исходного элемента f
0
(z) вдоль заданной кривой γ, находя ∆
γ
arg z
геометрически из рисунка.
A
A
1) Пусть z
1
= 2i, γ — отрезок [1,2i]. Тогда Ln 2i = ln 2+
πi
2
(рис. 8).
2) Пусть z
1
= −1, γ
+
— полуокружность |z| = 1, Im z > 0, ориен-
тированная против часовой стрелки. Тогда Ln (−1) = πi (рис. 9).
3) Пусть z
1
= −1, γ
−
— полуокружность |z| = 1, Im z 6 0, ориен-
тированная по часовой стрелке. Тогда Ln (−1) = −πi (рис. 9).
A
A
П р и м е р 2. Найдем по формуле (6) все значения функции Ln z
в заданной точке:
A
A
1) Ln (−3) = ln 3 + π(1 + 2k)i, k = 0, ± 1, ± 2, . . .;
2) Ln (−i) = −
πi
2
+ 2πki, k = 0, ±1, ± 2, . . .;
3) Ln (−1 + i) = ln
√
2 +
3πi
4
+ 2πki, k = 0, ±1, ± 2, . . . .
A
A
                     § 2 Логарифмическая функция                       13


= ln |z| + i∆γ arg z, но ln |z| → ∞ при z → 0 и поэтому Fγ (z) → ∞ при
z → 0, z ∈ γ.
    Таким образом, функция Ln z — это множество элементов вида
(4), где z1 — любая точка, z1 6= 0, а γ — различные кривые, не
проходящие через точку z = 0, с началом в точке z = 1 и концом в
точке z1 .
    Заметим, что в формуле (7) ∆ϕ = ϕ — одно из значений arg z1
(рис. 7), причем в зависимости от того, сколько оборотов вокруг
точки z = 0 делает кривая γ (по часовой или против часовой стрелки),
ϕ — может быть любым значением arg z1 (на рис. 7 ∆γ1 arg z = ϕ +
+ 2π, ∆γ2 arg z = ϕ − 2π). Следовательно, все значения функции Ln z
в точке z1 6= 0 определяются формулой
           Ln z1 = ln |z1 | + i(ϕ + 2πk),   k = 0, ± 1, ± 2, . . . ,   (8)
где ϕ — одно из значений arg z1 .
   Так как в формуле (8) z1 6= 0 — любая точка, то, обозначая z1 =
= z, получаем формулу (6), которую кратко можно записать в виде
(5).   y

    П р и м е р 1. Вычислим по формуле (7) значение Ln z в задан-
ной точке z1 , полученное в результате аналитического продолжения
исходного элемента f0 (z) вдоль заданной кривой γ, находя ∆γ arg z
геометрически из рисунка.
 A 1) Пусть z1 = 2i, γ — отрезок [1,2i]. Тогда Ln 2i = ln 2+ πi
                                                              2 (рис. 8).
    2) Пусть z1 = −1, γ+ — полуокружность |z| = 1, Im z > 0, ориен-
тированная против часовой стрелки. Тогда Ln (−1) = πi (рис. 9).
    3) Пусть z1 = −1, γ− — полуокружность |z| = 1, Im z 6 0, ориен-
тированная по часовой стрелке. Тогда Ln (−1) = −πi (рис. 9). A

    П р и м е р 2. Найдем по формуле (6) все значения функции Ln z
в заданной точке:
 A 1) Ln (−3) = ln 3 + π(1 + 2k)i, k = 0, ± 1, ± 2, . . .;
    2) Ln (−i) = − πi
                    2 +√2πki, k = 0, ± 1, ± 2, . . .;
    3) Ln (−1 + i) = ln 2 + 3πi
                              4 + 2πki, k = 0, ± 1, ± 2, . . . . A

Страницы