Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2 Логарифмическая функция 15
где Ln z
0
— все значения функции Ln z в точке z
0
.
i
В формуле (4) первый интеграл равен f
1
(z
1
). По свойству 4,
f
0
1
(z) =
1
z
, откуда f
(n)
1
(z
1
) = (−1)
n−1
(n − 1)!
1
z
n
1
, n = 1,2,3, . . .. По
формуле Тейлора получаем
f
1
(z) = f
1
(z
1
) +
∞
X
n=1
(−1)
n−1
nz
n
1
(z −z
1
)
n
. (12)
Этот ряд сходится к функции f
1
(z) в круге K
1
: |z − z
1
| < |z
1
|, так
как функция f
1
(z) регулярна в этом круге. Обозначая f
1
(z) = f(z),
z
1
= z
0
, из (12) получаем формулу (10).
В формуле (10) число f(z
0
) — одно из значений функции Ln z в
точке z
0
. Перебирая все значения функции Ln z в точке z
0
, получаем
разложение в ряды Тейлора (11) всех элементов функции Ln z в круге
K
0
.
y
З а м е ч а н и е 1. В формуле (11) ряд под знаком суммы один
и тот же для всех значений Ln z
0
. Следовательно, любой элемент
функции Ln z в любой точке z
0
6= 0 полностью определяется зада-
нием своего значения в этой точке (формула (10)).
В общем случае аналитическая функция может не обладать таким
свойством.
З а м е ч а н и е 2. Так как значения функции Ln z в одной и той
же точке z 6= 0 отличаются друг от друга на 2πki, где k — целое число
(формула (6)), то из формулы (11) следует, что если f(z) и
˜
f(z) —
элементы функции Ln z в одной и той же точке z
0
6= 0, то
f(z) −
˜
f(z) ≡ 2πki, |z − z
0
| < |z
0
|,
где k — некоторое целое число.
З а м е ч а н и е 3. Формулу (11) можно не запоминать, а полу-
чить ее формально такими же преобразованиями, как если бы z и z
0
                          § 2 Логарифмическая функция                        15

где Ln z0 — все значения функции Ln z в точке z0 .
 i В формуле (4) первый интеграл равен f (z ).                По свойству 4,
                                        1 1
                           (n)                          1
f10 (z) =   1
            z,   откуда   f1 (z1 )   = (−1)n−1 (n − 1)! n , n = 1,2,3, . . .. По
                                                       z1
формуле Тейлора получаем
                                          ∞
                                          X (−1)n−1
                    f1 (z) = f1 (z1 ) +                (z − z1 )n .        (12)
                                                nz1n
                                          n=1

Этот ряд сходится к функции f1 (z) в круге K1 : |z − z1 | < |z1 |, так
как функция f1 (z) регулярна в этом круге. Обозначая f1 (z) = f (z),
z1 = z0 , из (12) получаем формулу (10).
   В формуле (10) число f (z0 ) — одно из значений функции Ln z в
точке z0 . Перебирая все значения функции Ln z в точке z0 , получаем
разложение в ряды Тейлора (11) всех элементов функции Ln z в круге
K0 .   y

   З а м е ч а н и е 1. В формуле (11) ряд под знаком суммы один
и тот же для всех значений Ln z0 . Следовательно, любой элемент
функции Ln z в любой точке z0 6= 0 полностью определяется зада-
нием своего значения в этой точке (формула (10)).
   В общем случае аналитическая функция может не обладать таким
свойством.
   З а м е ч а н и е 2. Так как значения функции Ln z в одной и той
же точке z 6= 0 отличаются друг от друга на 2πki, где k — целое число
(формула (6)), то из формулы (11) следует, что если f (z) и f˜(z) —
элементы функции Ln z в одной и той же точке z0 6= 0, то

                     f (z) − f˜(z) ≡ 2πki,      |z − z0 | < |z0 |,

где k — некоторое целое число.
   З а м е ч а н и е 3. Формулу (11) можно не запоминать, а полу-
чить ее формально такими же преобразованиями, как если бы z и z0

Страницы