Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

16 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
были действительными:
Ln z = Ln [z
0
+ (z − z
0
)] = Ln
z
0
1 +
z − z
0
z
0

=
= Ln z
0
+ Ln
1 +
z − z
0
z
0
= Ln z
0
+
∞
X
n=1
(−1)
n−1
nz
n
0
(z − z
0
)
n
.
П р и м е р 3. Найдем разложение в ряды Тейлора всех элементов
функции Ln z в круге |z + 3i| < 3 по степеням (z + 3i).
A
A
Получаем:
Ln z = Ln [−3i + (z + 3i)] = Ln
(−3i)
1 −
z + 3i
3i

=
= Ln (−3i) + Ln
1 −
z + 3i
3i
=
= ln 3 −
πi
2
+ 2πki −
∞
X
n=1
1
n(3i)
n
(z + 3i)
n
, k = 0, ± 1, ± 2, . . . .
A
A
∆
ϕ
=
∆
γ
1
arg
z
γ
γ
1
1
z
2
z
1
Рис. 10.
Свойство 6. Пусть f
1
(z) — элемент функ-
ции Ln z в точке z
1
6= 0, заданный значением
f
1
(z
1
) = ln |z
1
|+iϕ
1
, где ϕ
1
— одно из значений
arg z
1
. И пусть f
2
(z) — результат аналитиче-
ского продолжения элемента f
1
(z) из точки z
1
в точку z
2
6= 0 вдоль кривой γ
1
, не проходящей
через точку z = 0 (рис. 10). Тогда
f
2
(z
2
) = ln |z
2
| + i(ϕ
1
+ ∆ϕ) = ln |z
2
| + i(ϕ
1
+ ∆
γ
1
arg z). (13)
i
По свойству 2 функция f
1
(z) — результат аналитического про-
должения элемента (1) из точки z = 1 в точку z
1
вдоль некоторой
кривой γ, не проходящей через точку z = 0 (рис. 10). Поэтому f
2
(z) —
результат аналитического продолжения элемента (1) из точки z = 1
16          Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции

были действительными:
                                                    
                                               z − z0
     Ln z = Ln [z0 + (z − z0 )] = Ln z0 1 +              =
                                                 z0
                                                    ∞
                                                       (−1)n−1
                                     
                               z − z0             X
          = Ln z0 + Ln 1 +              = Ln z0 +              (z − z0 )n .
                                 z0                      nz0n
                                                     n=1


   П р и м е р 3. Найдем разложение в ряды Тейлора всех элементов
функции Ln z в круге |z + 3i| < 3 по степеням (z + 3i).
A Получаем:
                                                   
                                              z + 3i
Ln z = Ln [−3i + (z + 3i)] = Ln (−3i) 1 −               =
                                                 3i
                                  
                            z + 3i
     = Ln (−3i) + Ln 1 −             =
                              3i
                           ∞
              πi           X      1
     = ln 3 −    + 2πki −             (z + 3i)n , k = 0, ± 1, ± 2, . . . . A
              2                n(3i)n
                              n=1

                                                           z2
                                                            ∆ϕ



     Свойство 6. Пусть f1 (z) — элемент функ-                               γ1
                                                                =



ции Ln z в точке z1 6= 0, заданный значением
                                                                 ∆ γ1




f1 (z1 ) = ln |z1 | + iϕ1 , где ϕ1 — одно из значений
                                                                    arg




                                                                                     1
arg z1 . И пусть f2 (z) — результат аналитиче-
                                                                        z




                                                                                 γ
ского продолжения элемента f1 (z) из точки z1
                                                                          z1
в точку z2 6= 0 вдоль кривой γ1 , не проходящей
                                                                    Рис. 10.
через точку z = 0 (рис. 10). Тогда

       f2 (z2 ) = ln |z2 | + i(ϕ1 + ∆ϕ) = ln |z2 | + i(ϕ1 + ∆γ1 arg z).          (13)

 i По свойству 2 функция f (z) — результат аналитического про-
                          1
должения элемента (1) из точки z = 1 в точку z1 вдоль некоторой
кривой γ, не проходящей через точку z = 0 (рис. 10). Поэтому f2 (z) —
результат аналитического продолжения элемента (1) из точки z = 1

Страницы