Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2 Логарифмическая функция 17
в точку z
2
вдоль кривой γγ
1
. Это аналитическое продолжение опре-
деляет на кривой γγ
1
непрерывную функцию
F
γγ
1
(z) =
z
Z
1
dζ
ζ
, z ∈ γγ
1
.
Поэтому
f
2
(z
2
) =
z
2
Z
1
dζ
ζ
=
z
1
Z
1
dζ
ζ
+
z
2
Z
z
1
dζ
ζ
. (14)
В этой формуле первый интеграл равен f
1
(z
1
) = ln |z
1
| + iϕ
1
, а вто-
рой (вычисляется так же, как и в свойстве 3) равен ln |z
2
| − ln |z
1
| +
+ i∆
γ
1
arg z. Следовательно, из формулы (14) получается формула
(13).
y
∆ϕ = 2π
γ
0
z
1
Рис. 11.
П р и м е р 4. Пусть f
1
(z) — элемент функ-
ции Ln z в точке z
1
6= 0. Найдем элемент f
2
(z),
который получается в результате аналитического
продолжения элемента f
1
(z) из точки z
1
в ту же
точку z
1
вдоль окружности γ : |z| = |z
1
| (рис. 11),
ориентированной против часовой стрелки. (Ко-
ротко будем говорить: “Совершим обход вокруг
точки z = 0 в положительном направлении”.)
A
A
По формуле (13) с помощью рис. 11 находим f
2
(z
1
) = f
1
(z
1
) + 2πi.
Поэтому f
2
(z) = f
1
(z) + 2πi (см. замечание 2).
В этом случае будем говорить, что после одного оборота вокруг
точки z = 0 элемент f
1
(z) переходит в элемент f
1
(z) + 2πi и писать
f
1
(z) → f
1
(z) + 2πi.
После второго, третьего и т.д. оборотов вокруг точки z = 0 в
положительном направлении получаем
f
1
(z) → f
1
(z) + 2πi → f
1
(z) + 4πi → f
1
(z) + 6πi → . . . .
                     § 2 Логарифмическая функция                              17

в точку z2 вдоль кривой γγ1 . Это аналитическое продолжение опре-
деляет на кривой γγ1 непрерывную функцию
                                        Zz
                                             dζ
                        Fγγ1 (z) =              ,    z ∈ γγ1 .
                                             ζ
                                        1

Поэтому
                                  Zz2          Zz1          Zz2
                                        dζ           dζ           dζ
                     f2 (z2 ) =            =            +            .   (14)
                                         ζ           ζ             ζ
                                  1            1            z1

В этой формуле первый интеграл равен f1 (z1 ) = ln |z1 | + iϕ1 , а вто-
рой (вычисляется так же, как и в свойстве 3) равен ln |z2 | − ln |z1 | +
+ i∆γ1 arg z. Следовательно, из формулы (14) получается формула
(13).   y

                                                                         z1
    П р и м е р 4. Пусть f1 (z) — элемент функ- γ
ции Ln z в точке z1 6= 0. Найдем элемент f2 (z),
который получается в результате аналитического              0
продолжения элемента f1 (z) из точки z1 в ту же          ∆ϕ = 2π
точку z1 вдоль окружности γ : |z| = |z1 | (рис. 11),
ориентированной против часовой стрелки. (Ко-
ротко будем говорить: “Совершим обход вокруг             Рис. 11.
точки z = 0 в положительном направлении”.)
 A По формуле (13) с помощью рис. 11 находим f2 (z1 ) = f1 (z1 ) + 2πi.
Поэтому f2 (z) = f1 (z) + 2πi (см. замечание 2).
    В этом случае будем говорить, что после одного оборота вокруг
точки z = 0 элемент f1 (z) переходит в элемент f1 (z) + 2πi и писать
                           f1 (z) → f1 (z) + 2πi.
   После второго, третьего и т.д. оборотов вокруг точки z = 0 в
положительном направлении получаем
        f1 (z) → f1 (z) + 2πi → f1 (z) + 4πi → f1 (z) + 6πi → . . . .

Страницы