Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

18 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
Аналогично, после первого, второго и т.д. оборотов вокруг точки
z = 0 в отрицательном направлении (по часовой стрелке) получаем
f
1
(z) → f
1
(z) − 2πi → f
1
(z) − 4πi → f
1
(z) − 6πi → . . . .
Итак, в результате аналитического продолжения после каждого
оборота вокруг точки z = 0 в положительном и отрицательном на-
правлениях в точке z
1
получаются новые элементы. В таком случае
точку z = 0 называют логарифмической точкой ветвления функции
Ln z (см. §6).
A
A
З а м е ч а н и е 4. Пусть f
1
(z) — элемент функции Ln z, задан-
ный в точке z
1
6= 0. Аналитическую функцию с исходным элементом
f
1
(z) обозначим F (z). По свойствам функции Ln z получается, что
функция F (z) — это множество тех же элементов, что и множество
элементов функции Ln z. Во многих задачах не имеет значения, ка-
кой из элементов аналитической функции принят за исходный (см.
примеры 2–4). Поэтому функцию F (z) также называют логарифми-
ческой и обозначают Ln z. Таким образом, Ln z — это совокупность
аналитических функций, имеющих одно и то же множество элемен-
тов и отличающихся друг от друга только исходными элементами.
В этом случае будем говорить также, что Ln z — это одна аналити-
ческая функция с точностью до исходного элемента.
§3. Степенн´ая функция
1. Определение степенной функции
При действительных β и x > 0 справедлива формула x
β
= e
β ln x
.
Естественно распространить эту формулу на комплексные значения b
и z так, чтобы выполнялось равенство z
b
= e
b Ln z
. Для этого сначала
сформулируем определение суперпозиции аналитических функций.
Определение 1. Пусть F (z) — аналитическая функция с ис-
ходным элементом f
0
(z), заданным в точке z
0
, и пусть H(ζ) — ана-
литическая функция с исходным элементом h
0
(ζ), заданным в точке
ζ
0
= f
0
(z
0
). Тогда функция g
0
(z) = h
0
(f
0
(z)) регулярна в точке z
0
как
18        Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции

   Аналогично, после первого, второго и т.д. оборотов вокруг точки
z = 0 в отрицательном направлении (по часовой стрелке) получаем

       f1 (z) → f1 (z) − 2πi → f1 (z) − 4πi → f1 (z) − 6πi → . . . .

   Итак, в результате аналитического продолжения после каждого
оборота вокруг точки z = 0 в положительном и отрицательном на-
правлениях в точке z1 получаются новые элементы. В таком случае
точку z = 0 называют логарифмической точкой ветвления функции
Ln z (см. §6). A
    З а м е ч а н и е 4. Пусть f1 (z) — элемент функции Ln z, задан-
ный в точке z1 6= 0. Аналитическую функцию с исходным элементом
f1 (z) обозначим F (z). По свойствам функции Ln z получается, что
функция F (z) — это множество тех же элементов, что и множество
элементов функции Ln z. Во многих задачах не имеет значения, ка-
кой из элементов аналитической функции принят за исходный (см.
примеры 2–4). Поэтому функцию F (z) также называют логарифми-
ческой и обозначают Ln z. Таким образом, Ln z — это совокупность
аналитических функций, имеющих одно и то же множество элемен-
тов и отличающихся друг от друга только исходными элементами.
В этом случае будем говорить также, что Ln z — это одна аналити-
ческая функция с точностью до исходного элемента.

                     § 3. Степенна́я функция
1. Определение степенной функции
    При действительных β и x > 0 справедлива формула xβ = eβ ln x .
Естественно распространить эту формулу на комплексные значения b
и z так, чтобы выполнялось равенство z b = eb Ln z . Для этого сначала
сформулируем определение суперпозиции аналитических функций.
    Определение 1. Пусть F (z) — аналитическая функция с ис-
ходным элементом f0 (z), заданным в точке z0 , и пусть H(ζ) — ана-
литическая функция с исходным элементом h0 (ζ), заданным в точке
ζ0 = f0 (z0 ). Тогда функция g0 (z) = h0 (f0 (z)) регулярна в точке z0 как

Страницы