Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

20 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
т.е.
z
b
= e
b[ln |z|+i(ϕ+2πk)]
, k = 0, ± 1, ±2, . . . , (4)
где ϕ — одно из значений arg z.
i
Формулы (3), (4) получаются из формул (5), (6) §2.
y
П р и м е р 1.
A
A
1) Пусть b = 0. Тогда по формуле (3) z
0
= 1 при z 6= 0. По усло-
вленной договоренности значение функции z
0
при z = 0 также равно
1. Таким образом, функция z
0
≡ 1 регулярна во всей комплексной
плоскости.
2) Пусть b = n, где n = 1,2, . . . . Тогда по формуле (3) при z 6= 0
получаем
z
1
= z, z
n
= z ·z · . . . · z
| {z }
n раз
при n = 2,3, . . . .
Доопределяя эти функции в точке z = 0 равенством (0)
n
= 0, полу-
чаем, что функция z
n
регулярна во всей комплексной плоскости.
Отметим, что только в с лучаях 1) и 2) элемент (1) можно ана-
литически продолжить по всем кривым с началом в точке z
0
= 1,
включая кривые, проходящие через точку z = 0, и при этом анали-
тическая функция с исходным элементом (1) оказывается регулярной
во всей комплексной плоскости.
3) Пусть b = −n, n = 1,2, . . . . Тогда по формуле (3) z
b
=
1
z
n
. В
этом случае элемент (1) нельзя аналитически продолжить по кривой,
проходящей через точку z = 0, так как
1
z
n
→ ∞ при z → 0.
Отметим, что только в случаях 1)–3) функция z
b
является одно-
значной.
4) Пусть b =
m
n
, где m = ±1, ± 2, . . . , n = 2,3 . . . и
m
n
— несокра-
тимая дробь. Тогда по формуле (4) функция z
b
= z
m
n
в каждой точке
z 6= 0 принимает ровно n различных значений:
z
m
n
= |z|
m
n
e
m
n
(ϕ+2πk)i
, k = 0,1,2, . . . ,n − 1, (5)
где ϕ — одно из значений arg z.
20        Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции

т.е.
              z b = eb[ln |z|+i(ϕ+2πk)] ,       k = 0, ± 1, ± 2, . . . ,        (4)
где ϕ — одно из значений arg z.
 i Формулы (3), (4) получаются из формул (5), (6) §2.                       y

    П р и м е р 1.
 A 1) Пусть b = 0. Тогда по формуле (3) z 0 = 1 при z 6= 0. По усло-
вленной договоренности значение функции z 0 при z = 0 также равно
1. Таким образом, функция z 0 ≡ 1 регулярна во всей комплексной
плоскости.
    2) Пусть b = n, где n = 1,2, . . . . Тогда по формуле (3) при z 6= 0
получаем
             z 1 = z,   z n = z| · z ·{z. . . · z}   при n = 2,3, . . . .
                                     n раз

Доопределяя эти функции в точке z = 0 равенством (0)n = 0, полу-
чаем, что функция z n регулярна во всей комплексной плоскости.
    Отметим, что только в случаях 1) и 2) элемент (1) можно ана-
литически продолжить по всем кривым с началом в точке z0 = 1,
включая кривые, проходящие через точку z = 0, и при этом анали-
тическая функция с исходным элементом (1) оказывается регулярной
во всей комплексной плоскости.
    3) Пусть b = −n, n = 1,2, . . . . Тогда по формуле (3) z b = z1n . В
этом случае элемент (1) нельзя аналитически продолжить по кривой,
проходящей через точку z = 0, так как z1n → ∞ при z → 0.
    Отметим, что только в случаях 1)–3) функция z b является одно-
значной.
    4) Пусть b = m                                        .и m
                 n , где m = ±1, ± 2, . . . , n = 2,3 . . m  n — несокра-
                                                  b
тимая дробь. Тогда по формуле (4) функция z = z n в каждой точке
z 6= 0 принимает ровно n различных значений:
               m         m   m
              z n = |z| n e n (ϕ+2πk)i ,        k = 0,1,2, . . . ,n − 1,        (5)
где ϕ — одно из значений arg z.

Страницы