Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

22 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
сходящимся к g(z) в круге K
0
: |z −z
0
| < |z
0
|, а все элементы функции
z
b
в точке z
0
имеют вид
z
b
= z
b
0
∞
X
n=0
C
n
b
1
z
n
0
(z −z
0
)
n
, (10)
где z
b
0
— все значения функции z
b
в точке z
0
,
C
0
b
= 1, C
n
b
=
b(b − 1) . . . (b − n + 1)
n!
, n = 1,2, . . . .
i
Из формулы (8) находим
g
00
(z) = −
b
z
2
g(z) +
b
z
g
0
(z) = −
b
z
2
g(z) +
b
2
z
2
g(z) =
b(b − 1)
z
2
g(z).
По индукции находим g
(n)
(z) = C
n
b
n!
z
n
g(z) при n > 1. Следова-
тельно, g
(n)
(z
0
) = C
n
b
n!
z
n
0
g(z
0
), n = 1,2, . . . . По формуле Тейлора полу-
чаем ряд (9). Этот ряд сходится в круге K
0
к функции g(z), так как
функция g(z) регулярна в круге K
0
.
Так как g(z
0
) может быть любым значением функции z
b
в точке
z
0
, то все элементы функции z
b
в точке z
0
в круге K
0
имеют вид (10).
y
З а м е ч а н и е 1. В формуле (10) ряд под знаком суммы один и
тот же для всех значений z
b
0
. Следовательно, любой элемент функции
z
b
в любой точке z
0
6= 0 полностью определяется заданием своего
значения в этой точке (формула (9)).
Из формул (4) и (10) получается, что если g(z) и ˜g(z) — элементы
функции z
b
в одной и той же точке z
0
6= 0, то
˜g(z) = g(z)e
2πkbi
, |z − z
0
| < |z
0
|,
где k — некоторое целое число.
22          Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции


сходящимся к g(z) в круге K0 : |z − z0 | < |z0 |, а все элементы функции
z b в точке z0 имеют вид
                                        ∞
                                        X            1
                            z b = z0b         Cbn       (z − z0 )n ,                      (10)
                                                    z0n
                                        n=0

где z0b — все значения функции z b в точке z0 ,

                                 b(b − 1) . . . (b − n + 1)
        Cb0 = 1,         Cbn =                              ,          n = 1,2, . . . .
                                              n!

 i Из формулы (8) находим

                     b        b 0          b        b2        b(b − 1)
     g 00 (z) = −      g(z) +   g (z) = −    g(z) +    g(z) =          g(z).
                    z2        z           z2        z2           z2
                                             n!
     По индукции находим g (n) (z) = Cbn n g(z) при n > 1. Следова-
                                             z
           (n)        n n!
тельно, g (z0 ) = Cb n g(z0 ), n = 1,2, . . . . По формуле Тейлора полу-
                        z0
чаем ряд (9). Этот ряд сходится в круге K0 к функции g(z), так как
функция g(z) регулярна в круге K0 .
     Так как g(z0 ) может быть любым значением функции z b в точке
z0 , то все элементы функции z b в точке z0 в круге K0 имеют вид (10).
 y
     З а м е ч а н и е 1. В формуле (10) ряд под знаком суммы один и
тот же для всех значений z0b . Следовательно, любой элемент функции
z b в любой точке z0 6= 0 полностью определяется заданием своего
значения в этой точке (формула (9)).
     Из формул (4) и (10) получается, что если g(z) и g̃(z) — элементы
функции z b в одной и той же точке z0 6= 0, то

                        g̃(z) = g(z)e2πkbi ,          |z − z0 | < |z0 |,

где k — некоторое целое число.

Страницы