Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

24 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
После второго, третьего и т.д. оборотов вокруг точки z = 0 в
положительном направлении получаем
g
1
(z) → g
1
(z)e
2πbi
→ g
1
(z)e
4πbi
→ g
1
(z)e
6πbi
→ . . . . (12)
Аналогично после оборотов вокруг точки z = 0 в отрицательном
направлении находим
g
1
(z) → g
1
(z)e
−2πbi
→ g
1
(z)e
−4πbi
→ g
1
(z)e
−6πbi
→ . . . . (13)
Из формул (12), (13) следует, что если число b не является раци-
ональным, то z = 0 — логарифмическая точка ветвления функции
z
b
.
Пусть теперь b =
m
n
, где m = ±1, ± 2, . . . , n = 2,3, . . . ,
m
n
— несо-
кратимая дробь. Тогда числа e
2πkm
n
i
при k = 0,1, . . . ,n − 1 различны,
а e
2πnm
n
i
= 1. Следовательно, по формуле (12) в точке z
1
6= 0 функция
z
m
n
имеет ровно n различных элементов g
1
(z)e
2πkm
n
i
, k = 0,1, . . . ,n−1, а
g
1
(z)e
2πnm
n
i
≡ g
1
(z). (По формуле (13) получаются эти же элементы.)
Итак, после первых n − 1 оборотов вокруг точки z = 0 в точке z
1
получаются различные между собой элементы, отличные от g
1
(z), а
после n-го оборота получается элемент g
1
(z). В таком случае точка
z = 0 называется алгебраической точкой ветвления порядка n функ-
ции z
m
n
(см. §6).
A
A
Вернемся к свойству 1. Докажем, что если b — нецелое число, то
элемент (1) функции z
b
нельзя аналитически продолжить по кри-
вой, проходящей через точку z = 0.
i
Предположим, что такое продолжение существует. Тогда в точке
z = 0 оно определяет элемент ˜g(z) функции z
b
, т.е. регулярную в
некотором круге
˜
K : |z| <
˜
R функцию ˜g(z).
Пусть z
1
6= 0, 0 < |z
1
| <
˜
R. В окрестности точки z
1
функция
g
1
(z) = ˜g(z) является элементом функции z
b
. Рассмотрим аналити-
ческое продолжение этого элемента вдоль окружности γ : |z| = |z
1
|,
ориентированной против часовой стрелки.
Так как функция ˜g(z) регулярна в круге
˜
K, то в каждой точке
ζ ∈ γ должен получиться элемент g
ζ
(z) = ˜g(z), в частности, в точке
24         Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции

   После второго, третьего и т.д. оборотов вокруг точки z = 0 в
положительном направлении получаем
          g1 (z) → g1 (z)e2πbi → g1 (z)e4πbi → g1 (z)e6πbi → . . . .    (12)
   Аналогично после оборотов вокруг точки z = 0 в отрицательном
направлении находим
      g1 (z) → g1 (z)e−2πbi → g1 (z)e−4πbi → g1 (z)e−6πbi → . . . .     (13)
    Из формул (12), (13) следует, что если число b не является раци-
ональным, то z = 0 — логарифмическая точка ветвления функции
zb.
    Пусть теперь b = m                                              m
                      n , где m = ±1, ± 2, . . . , n = 2,3, . . . , n — несо-
                                   2πkm
кратимая дробь. Тогда числа e n i при k = 0,1, . . . ,n − 1 различны,
    2πnm
а e n i = 1. Следовательно, по формуле (12) в точке z1 6= 0 функция
  m                                          2πkm
z n имеет ровно n различных элементов g1 (z)e n i , k = 0,1, . . . ,n−1, а
       2πnm
g1 (z)e n i ≡ g1 (z). (По формуле (13) получаются эти же элементы.)
    Итак, после первых n − 1 оборотов вокруг точки z = 0 в точке z1
получаются различные между собой элементы, отличные от g1 (z), а
после n-го оборота получается элемент g1 (z). В таком случае точка
z = 0 называется алгебраической точкой ветвления порядка n функ-
       m
ции z n (см. §6). A
    Вернемся к свойству 1. Докажем, что если b — нецелое число, то
элемент (1) функции z b нельзя аналитически продолжить по кри-
вой, проходящей через точку z = 0.
 i Предположим, что такое продолжение существует. Тогда в точке
z = 0 оно определяет элемент g̃(z) функции z b , т.е. регулярную в
некотором круге K̃ : |z| < R̃ функцию g̃(z).
    Пусть z1 6= 0, 0 < |z1 | < R̃. В окрестности точки z1 функция
g1 (z) = g̃(z) является элементом функции z b . Рассмотрим аналити-
ческое продолжение этого элемента вдоль окружности γ : |z| = |z1 |,
ориентированной против часовой стрелки.
    Так как функция g̃(z) регулярна в круге K̃, то в каждой точке
ζ ∈ γ должен получиться элемент gζ (z) = g̃(z), в частности, в точке

Страницы