Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3 Степенн´ая функция 23
П р и м е р 2. Разложим все элементы функции
n
√
z, n = 2,3, . . .,
в круге |z + 4i| < 4 в ряды Тейлора по степеням (z + 4i).
A
A
Формулу (10) можно получить формально такими же преобразо-
ваниями, как если бы z и z
0
были действительными (замечание 3, §2).
Получаем
n
√
z = z
1
n
= [−4i + (z + 4i)]
1
n
=
=
(−4i)
1 −
z + 4i
4i

1
n
= (−4i)
1
n
1 −
z + 4i
4i
1
n
=
=
n
√
4e
i
n
(
−
π
2
+2πk
)
∞
X
m=0
C
m
1
n
(−1)
m
(4i)
m
(z + 4i)
m
, k = 0,1, . . . ,n − 1.
A
A
Свойство 5. Пусть g
1
(z) — элемент функции z
b
в точке z
1
6=
6= 0, определенный значением g
1
(z
1
) = e
b(ln |z
1
|+iϕ
1
)
, где ϕ
1
— одно из
значений arg z
1
. И пусть g
2
(z) — результат аналитического продол-
жения элемента g
1
(z) из точки z
1
в точку z
2
6= 0 вдоль кривой γ
1
, не
проходящей через точку z = 0 (рис. 10). Тогда
g
2
(z
2
) = e
b[ln |z
2
|]+i(ϕ
1
+∆
γ
1
arg z)]
. (11)
i
Формула (11) получается непосредственно из формулы (13), §2.
y
П р и м е р 3. Пусть g
1
(z) — элемент функции z
b
в точке z
1
6= 0.
Найдем элемент g
2
(z), который получается в результате аналитиче-
ского продолжения элемента g
1
(z) из точки z
1
в ту же точку z
1
вдоль
окружности γ : |z| = |z
1
|, ориентированной против часовой стрелки
(рис. 11).
A
A
По формуле (11) с помощью рис. 11 находим g
2
(z
1
) = g
1
(z
1
)e
2πbi
,
поэтому g
2
(z) = g
1
(z)e
2πbi
. Таким образом, после одного оборота во-
круг точки z = 0 в положительном направлении получаем
g
1
(z) → g
1
(z)e
2πbi
.
                         § 3 Степенна́я функция                          23

                                                          √
    П р и м е р 2. Разложим все элементы функции n z, n = 2,3, . . .,
в круге |z + 4i| < 4 в ряды Тейлора по степеням (z + 4i).
 A Формулу (10) можно получить формально такими же преобразо-
ваниями, как если бы z и z0 были действительными (замечание 3, §2).
Получаем
√n
         1                    1
   z = z n = [−4i + (z + 4i)] n =
                         1                        1
                    z + 4i n             1       z + 4i n
     = (−4i) 1 −                 = (−4i) n 1 −            =
                       4i                          4i
                        ∞
       √    i   π               (−1)m
     = 4e n (− 2 +2πk)
                        X
                           Cm         (z + 4i)m , k = 0,1, . . . ,n − 1. A
        n
                              1
                              n (4i)
                                    m
                       m=0


    Свойство 5. Пусть g1 (z) — элемент функции z b в точке z1 6=
6= 0, определенный значением g1 (z1 ) = eb(ln |z1 |+iϕ1 ) , где ϕ1 — одно из
 значений arg z1 . И пусть g2 (z) — результат аналитического продол-
 жения элемента g1 (z) из точки z1 в точку z2 6= 0 вдоль кривой γ1 , не
 проходящей через точку z = 0 (рис. 10). Тогда
                     g2 (z2 ) = eb[ln |z2 |]+i(ϕ1 +∆γ1 arg z)] .       (11)

 i Формула (11) получается непосредственно из формулы (13), §2.
  y

   П р и м е р 3. Пусть g1 (z) — элемент функции z b в точке z1 6= 0.
Найдем элемент g2 (z), который получается в результате аналитиче-
ского продолжения элемента g1 (z) из точки z1 в ту же точку z1 вдоль
окружности γ : |z| = |z1 |, ориентированной против часовой стрелки
(рис. 11).
A По формуле (11) с помощью рис. 11 находим g2 (z1 ) = g1 (z1 )e2πbi ,
поэтому g2 (z) = g1 (z)e2πbi . Таким образом, после одного оборота во-
круг точки z = 0 в положительном направлении получаем
                             g1 (z) → g1 (z)e2πbi .

Страницы