Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3 Степенн´ая функция 21
В частности, функцию z
1
n
называют корнем n-й степени из z и
обозначают: z
1
2
=
√
z, z
1
n
=
n
√
z, n = 3,4, . . . . Тогда из (5) получается,
что если z 6= 0, то
n
√
z =
n
p
|z|e
1
n
(ϕ+2πk)i
,k = 0,1, . . . ,n − 1, (6)
где ϕ = arg z,
n
p
|z| — арифметический корень. Функция
n
√
z, n =
= 2,3, . . . , является обратной к функции z
n
, так как (
n
√
z)
n
= z.
5) Пусть число b не является рациональным, т.е. или b — дей-
ствительное иррациональное число, или Im b 6= 0. Тогда по формуле
(4) получается, что функция z
b
в каждой точке z 6= 0 принимает бес-
конечное (счетное) число различных значений.
Например, функция z
i
в точке z = i принимает значения i
i
=
= e
i[ln |i|+i arg i]
= e
−
π
2
+2πk
, k = 0, ± 1, ± 2, . . . .
A
A
Отметим, что если b = β — действительное число, то формулу
(4) можно записать так:
z
β
= |z|
β
e
β(ϕ+2πk)i
, k = 0, ± 1, ± 2, . . . , (7)
где ϕ = arg z, |z|
β
> 0.
Свойство 3. Пусть g(z) — элемент функции z
b
. Тогда
g
0
(z) =
b
z
g(z). (8)
i
Из формулы (2) с учетом формулы (9), §2 получаем
g
0
(z) =
e
bf(z)
0
= bf
0
(z)e
bf(z)
=
b
z
e
bf(z)
=
b
z
g(z).
y
Свойство 4. Пусть g(z) — элемент функции z
b
в точке z
0
6= 0.
Тогда этот элемент представляется рядом Тейлора
g(z) = g(z
0
)
∞
X
n=0
C
n
b
1
z
n
0
(z − z
0
)
n
, (9)
                           § 3 Степенна́я функция                       21

                                 1
    В частности, функцию z n называют корнем n-й степени из z и
                  1    √    1     √
обозначают: z 2 = z, z n = n z, n = 3,4, . . . . Тогда из (5) получается,
что если z 6= 0, то
                    √     p      1
                    n
                      z = n |z|e n (ϕ+2πk)i ,k = 0,1, . . . ,n − 1,     (6)
                    p                                                 √
где ϕ = arg z, n |z| — арифметический корень. Функция n z, n =
                                                                    √
= 2,3, . . . , является обратной к функции z n , так как ( n z)n = z.
    5) Пусть число b не является рациональным, т.е. или b — дей-
ствительное иррациональное число, или Im b 6= 0. Тогда по формуле
(4) получается, что функция z b в каждой точке z 6= 0 принимает бес-
конечное (счетное) число различных значений.
    Например, функция z i в точке z = i принимает значения ii =
                        π
= e |i|+i arg i] = e− 2 +2πk , k = 0, ± 1, ± 2, . . . . A
    i[ln

    Отметим, что если b = β — действительное число, то формулу
(4) можно записать так:
               z β = |z|β eβ(ϕ+2πk)i ,      k = 0, ± 1, ± 2, . . . ,   (7)
где ϕ = arg z, |z|β > 0.
   Свойство 3. Пусть g(z) — элемент функции z b . Тогда
                                            b
                                g 0 (z) =     g(z).                    (8)
                                            z

 i Из формулы (2) с учетом формулы (9), §2 получаем
                          0                  b         b
         g 0 (z) = ebf (z) = bf 0 (z)ebf (z) = ebf (z) = g(z). y
                  
                                              z         z


   Свойство 4. Пусть g(z) — элемент функции z b в точке z0 6= 0.
Тогда этот элемент представляется рядом Тейлора
                                     ∞
                                     X             1
                     g(z) = g(z0 )          Cbn       (z − z0 )n ,     (9)
                                                  z0n
                                     n=0

Страницы