Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 19 стр.

                         § 3 Степенна́я функция                       19

суперпозиция регулярных функций, т.е. является элементом в точке
z0 . Аналитическая функция с исходным элементом g0 (z) называется
суперпозицией аналитических функций F (z) и H(ζ) и обозначается
G(z) = H(F (z)).

    Определение 2. Пусть f0 (z) — элемент функции Ln z, заданный
в точке z0 6= 0 (для определенности будем считать, что z0 = 1 и
f0 (z) — элемент (1), §2) и b — любое фиксированное комплексное
число. Аналитическую функцию с исходным элементом
                 g0 (z) = ebf0 (z) ,   z ∈ K0 : |z − 1| < 1,          (1)
будем обозначать eb Ln z (в силу определения 1), а также z b , и называть
степенно́й функцией, т.е. z b = eb Ln z .
2. Свойства степенной функции
   Из определения 2 следует, что все свойства степенной функции
получаются из соответствующих свойств логарифмической функции.
   Свойство 1. Элемент (1) допускает аналитическое продолжение
по любой кривой γ с началом в точке z0 = 1, не проходящей через
точку z = 0.
 i Пусть множество элементов f (z), ζ ∈ γ, является аналитическим
                              ζ
продолжением элемента f0 (z) вдоль кривой γ (такое продолжение су-
ществует по свойству 2, §2). Тогда множество элементов gζ (z) =
= ebfζ (z) является аналитическим продолжением элемента (1) вдоль
кривой γ (определение 4, §1). y
   Таким образом, функция z b в каждой точке z 6= 0 состоит из эле-
ментов
                            g(z) = ebf (z) ,                    (2)
где f (z) — элементы функции Ln z.
   Свойство 2. Все значения функции z b в точке z 6= 0 определя-
ются формулой
                     z b = eb(ln |z|+i arg z) ,              (3)