Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4 Арифметические операции над аналитическими функциями 25
z
1
должен получиться элемент g
1
(z) = ˜g(z). Но в примере 3 доказано,
что после одного оборота вокруг точки z = 0 в точке z
1
получается
элемент g
1
(z)e
2πbi
6= g
1
(z), так как b — нецелое число. Это противо-
речие и доказывает сформулированное утверждение.
y
Таким образом, если b — нецелое число, то функция z
b
— это
множество элементов в точках z 6= 0, которые можно представить,
например, по формулам (2), (9), (10).
З а м е ч а н и е 2. Как и для Ln z (замечание 4, §2), символом z
b
обозначается совокупность аналитических функций, имеющих одно и
то же множество элементов и отличающихся друг от друга только
исходными элементами.
З а м е ч а н и е 3. Для исследования аналитической функции
F (z), заданной исходным элементом f
0
(z) (как и в §§2, 3), обычно
выясняют:
1) какие кривые являются допустимыми для элемента f
0
(z);
2) как находить значения функции F (z), т.е. значения ее элементов;
3) как находить производные ее элементов;
4) как представлять ее элементы рядами Тейлора или Лорана.
§4. Арифметические операции над аналитическими
функциями
Определение 1. Пусть аналитические функции G(z) и H(z)
порождены исходными элементами g
0
(z) и h
0
(z) соответственно, за-
данными в одной и той же точке z
0
. Тогда аналитические функции
с исходными элементами g
0
(z)±h
0
(z), g
0
(z)h
0
(z) и
g
0
(z)
h
0
(z)
, если h
0
(z
0
) 6=
6= 0, называются соответственно суммой, разностью, произведением
и частным аналитических функций G(z) и H(z) и обозначаются
G(z) ± H(z), G(z)H(z),
G(z)
H(z)
.
Если аналитические функции заданы исходными элементами в
разных точках, то арифметические операции на д ними не определены.
     § 4 Арифметические операции над аналитическими функциями                25


z1 должен получиться элемент g1 (z) = g̃(z). Но в примере 3 доказано,
что после одного оборота вокруг точки z = 0 в точке z1 получается
элемент g1 (z)e2πbi 6= g1 (z), так как b — нецелое число. Это противо-
речие и доказывает сформулированное утверждение. y
    Таким образом, если b — нецелое число, то функция z b — это
множество элементов в точках z 6= 0, которые можно представить,
например, по формулам (2), (9), (10).
    З а м е ч а н и е 2. Как и для Ln z (замечание 4, §2), символом z b
обозначается совокупность аналитических функций, имеющих одно и
то же множество элементов и отличающихся друг от друга только
исходными элементами.
    З а м е ч а н и е 3. Для исследования аналитической функции
F (z), заданной исходным элементом f0 (z) (как и в §§2, 3), обычно
выясняют:
1) какие кривые являются допустимыми для элемента f0 (z);
2) как находить значения функции F (z), т.е. значения ее элементов;
3) как находить производные ее элементов;
4) как представлять ее элементы рядами Тейлора или Лорана.

   § 4. Арифметические операции над аналитическими
                      функциями

     Определение 1. Пусть аналитические функции G(z) и H(z)
 порождены исходными элементами g0 (z) и h0 (z) соответственно, за-
 данными в одной и той же точке z0 . Тогда аналитические функции
 с исходными элементами g0 (z)±h0 (z), g0 (z)h0 (z) и hg00(z)
                                                          (z) , если h0 (z0 ) 6=
6= 0, называются соответственно суммой, разностью, произведением
 и частным аналитических функций G(z) и H(z) и обозначаются
                                                      G(z)
                  G(z) ± H(z),        G(z)H(z),            .
                                                      H(z)

   Если аналитические функции заданы исходными элементами в
разных точках, то арифметические операции над ними не определены.

Страницы