Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4 Арифметические операции над аналитическими функциями 27
где ∆ϕ
1
= ∆
γ
arg(z −a), ∆ϕ
2
= ∆
γ
arg(z −b) (рис. 12).
Итак, значения функции (2) вычисляются по формуле (4).
ϕ
(0)
1
ϕ
(0)
2
∆
ϕ
1
∆
ϕ
2
γ
a
b
z
0
z
Рис. 12
Все остальные свойства функции (2) также получаются из соот-
ветствующих свойств функции Ln z. Например, если f (z) — элемент
функции (2), то по формуле (9), §2 находим
f
0
(z) =
1
z − a
+
1
z − b
.
A
A
П р и м е р 2. Рассмотрим функцию
F (z) = (z − a)
α
(z − b)
β
, (5)
где a, b, α, β — действительные числа, a < b.
A
A
Свойства функции (5) получаются непосредственно из свойств
функции z
b
(§3).
По определению 1 функция (5) — это аналитическая функция с
исходным элементом f
0
(z) = g
0
(z)h
0
(z), где g
0
(z), h
0
(z) — некоторые
элементы соответственно функций (z −a)
α
, (z −b)
β
в одной и той же
точке z
0
, где z
0
6= a, z
0
6= b.
    § 4 Арифметические операции над аналитическими функциями            27


где ∆ϕ1 = ∆γ arg(z − a), ∆ϕ2 = ∆γ arg(z − b) (рис. 12).
   Итак, значения функции (2) вычисляются по формуле (4).
                                         γ                         z0

                z




                           ∆ϕ
                                                    2
                                               ∆ϕ
                            1                                (0)
                                   (0)                      ϕ2
                                ϕ1
                       a                                b
                                     Рис. 12

   Все остальные свойства функции (2) также получаются из соот-
ветствующих свойств функции Ln z. Например, если f (z) — элемент
функции (2), то по формуле (9), §2 находим

                                    1   1
                       f 0 (z) =      +    . A
                                   z−a z−b


   П р и м е р 2. Рассмотрим функцию

                       F (z) = (z − a)α (z − b)β ,                      (5)

где a, b, α, β — действительные числа, a < b.
A Свойства функции (5) получаются непосредственно из свойств
функции z b (§3).
   По определению 1 функция (5) — это аналитическая функция с
исходным элементом f0 (z) = g0 (z)h0 (z), где g0 (z), h0 (z) — некоторые
элементы соответственно функций (z − a)α , (z − b)β в одной и той же
точке z0 , где z0 6= a, z0 6= b.

Страницы