Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4 Арифметические операции над аналитическими функциями 29
(e
iw
)
2
− 2ize
iw
− 1 = 0,
e
iw
= iz +
√
1 − z
2
,
w = −i Ln(iz +
√
1 − z
2
).
Поэтому естественно функцию arcsin z определить формулой
arcsin z = −i Ln(iz +
p
1 − z
2
). (9)
Аналогично, решая уравнения cos w = z, tg w = z, ctg w = z, полу-
чаем определение остальных обратных тригонометрических функций
формулами:
arccos z = i Ln(z +
p
z
2
− 1), (10)
arctg z =
i
2
Ln
i + z
i − z
, (11)
arcctg z =
i
2
Ln
z − i
z + i
. (12)
Таким же способом получаются формулы для обратных гипербо-
лических функций.
Таким образом, свойства обратных тригонометрических функций
и обратных гиперболических функций получаются из соответствую-
щих свойств уже изученных функций Ln z и
√
z
2
− 1.
Отметим, что каждую из этих функций можно задать каким-
нибудь е е исходным элементом. Например, функцию arctg z можно
определить ее исходным элементом
f
0
(z) =
∞
X
n=0
(−1)
n
2n + 1
z
2n+1
, z ∈ K
0
: |z| < 1.
Регулярная функция f
0
(z) является аналитическим продолжением
(единственным) функции arctg x с интервала −1 < x < 1 в круг K
0
.
Элемент f
0
(z) можно представить интегралом
f
0
(z) =
z
Z
0
dζ
1 + ζ
2
, z ∈ K
0
,
    § 4 Арифметические операции над аналитическими функциями       29


                       (eiw )2 − 2izeiw − 1 = 0,
                                     √
                         eiw = iz + 1 − z 2 ,
                                        √
                      w = −i Ln(iz + 1 − z 2 ).
   Поэтому естественно функцию arcsin z определить формулой
                                       p
                  arcsin z = −i Ln(iz + 1 − z 2 ).          (9)
   Аналогично, решая уравнения cos w = z, tg w = z, ctg w = z, полу-
чаем определение остальных обратных тригонометрических функций
формулами:
                                      p
                   arccos z = i Ln(z + z 2 − 1),                (10)
                               i    i+z
                    arctg z = Ln        ,                       (11)
                              2     i−z
                               i    z−i
                   arcctg z = Ln        .                       (12)
                              2     z+i
   Таким же способом получаются формулы для обратных гипербо-
лических функций.
   Таким образом, свойства обратных тригонометрических функций
и обратных гиперболических функций получаются
                                         √     из соответствую-
щих свойств уже изученных функций Ln z и z 2 − 1.
   Отметим, что каждую из этих функций можно задать каким-
нибудь ее исходным элементом. Например, функцию arctg z можно
определить ее исходным элементом
                      ∞
                      X (−1)n 2n+1
             f0 (z) =          z   ,           z ∈ K0 : |z| < 1.
                        2n + 1
                     n=0

Регулярная функция f0 (z) является аналитическим продолжением
(единственным) функции arctg x с интервала −1 < x < 1 в круг K0 .
Элемент f0 (z) можно представить интегралом
                               Zz
                                      dζ
                    f0 (z) =               ,   z ∈ K0 ,
                                    1 + ζ2
                               0

Страницы