Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

30 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
по любой кривой в круге K
0
.
Подробнее об обратных тригонометрических и об обратных гипер-
болических функциях см. в [2].
A
A
З а м е ч а н и е. Каждая из формул (1), (5), (9)–(12) задает одну
аналитическую функцию с точностью до исходного элемента. Сле-
дует иметь в виду, что не всякая формула, содержащая логарифмы
и степени, задает только одну аналитическую функцию. Например,
√
z
2
— это две аналитические функции z и −z, Ln e
z
— это анали-
тические функцииz + 2πki, k = 0, ± 1, ± 2, . . . . В таких случаях для
задания аналитической функции нужно задать ее исходный элемент.
П р и м е р 4. Функция z
z
определяется формулой z
z
= e
z Ln z
,
поэтому ее значения в точке z 6= 0 находятся по формуле z
z
=
= e
z(ln |z|+i arg z)
.
A
A
Например, при z = i получаем
i
i
= e
i(ln |i|+i arg i)
= e
−
π
2
+2πk
, k = 0, ± 1, ±2, . . . .
Это те же самые значения, которые принимает функция z
i
в точке i
(пример 1, §3).
A
A
§5. Аналитические и регулярные ветви полных
аналитических функций
1. Не прерыв ные ветви функции arg z
В §2 (свойство 3) сф ормулированы следующие два определения
приращения аргумента z вдоль кривой γ, не проходящей через точку
z = 0.
Г е о м е т р и ч е с к о е : ∆
γ
arg z — это угол поворота вектора
z при движении точки z по кривой γ от начальной точки z
0
кривой γ
до точки z (рис. 13).
А н а л и т и ч е с к о е : если z = r(t)e
iϕ(t)
, α 6 t 6 β, —
30        Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции

по любой кривой в круге K0 .
   Подробнее об обратных тригонометрических и об обратных гипер-
болических функциях см. в [2]. A
     З а м е ч а н и е. Каждая из формул (1), (5), (9)–(12) задает одну
аналитическую функцию с точностью до исходного элемента. Сле-
дует иметь в виду, что не всякая формула, содержащая логарифмы
и
√ степени, задает только одну аналитическую функцию. Например,
  z 2 — это две аналитические функции z и −z, Ln ez — это анали-
тические функцииz + 2πki, k = 0, ± 1, ± 2, . . . . В таких случаях для
задания аналитической функции нужно задать ее исходный элемент.

   П р и м е р 4. Функция z z определяется формулой z z = ez Ln z ,
поэтому ее значения в точке z 6= 0 находятся по формуле z z =
= ez(ln |z|+i arg z) .
A Например, при z = i получаем

                                      π
          ii = ei(ln |i|+i arg i) = e− 2 +2πk ,   k = 0, ± 1, ± 2, . . . .

Это те же самые значения, которые принимает функция z i в точке i
(пример 1, §3). A

     § 5. Аналитические и регулярные ветви полных
                аналитических функций
1. Непрерывные ветви функции arg z
   В §2 (свойство 3) сформулированы следующие два определения
приращения аргумента z вдоль кривой γ, не проходящей через точку
z = 0.
   Г е о м е т р и ч е с к о е : ∆γ arg z — это угол поворота вектора
z при движении точки z по кривой γ от начальной точки z0 кривой γ
до точки z (рис. 13).
   А н а л и т и ч е с к о е : если z = r(t)eiϕ(t) , α 6 t 6 β, —

Страницы