Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 32 стр.

32         Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции


0 < |z| < ∞, то равенство (2) может оказаться неверным (пример 1,
§2, рис. 9).
     Свойство 2. Если кривая γ не проходит через точку z = 0, то

                                   ∆γ arg z = −∆γ −1 arg z.


   Свойство 3.                Если кривая γ = γ1 γ2 не проходит через точку
z = 0, то
                         ∆γ1 γ2 arg z = ∆γ1 arg z + ∆γ2 arg z.

   Рассмотрим кривую γ с началом в точке z0 , не проходящую через
точку z = 0 (рис. 15). Обозначим ∆ϕ(z) = ∆γ arg z, где z — пере-
менная точка кривой γ. Из формулы (1) следует, что функция ∆ϕ(z)
является непрерывной на кривой γ.
             z               γ
                 ∆
                 ϕ                                               D
                     =                                    z
                         ∆
                          γ   ar
                                 gz                             γ       z0
                 0                     z0


                                                      ∆
                                                      ϕ


                                                  0
                 Рис. 15                                      Рис. 16

   Пусть ϕ0 = arg z0 , т.е. ϕ0 — одно из значений аргумента z0 . Тогда
функция
                           ϕ(z) = ϕ0 + ∆ϕ(z)                        (3)
непрерывна на кривой γ и ϕ(z) = arg z, т.е. ϕ(z) — одно из значений
arg z. Такую функцию ϕ(z) называют непрерывной ветвью много-
значной функции arg z на кривой γ.