Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций 31
параметрическое уравнение кривой γ, то
∆
γ
arg z =
Z
γ
dϕ =
β
Z
α
ϕ
0
(t) dt = ϕ(β) − ϕ(α).
Так как dϕ =
−y dx + x dy
x
2
+ y
2
, то
∆
γ
arg z =
Z
γ
−y dx + x dy
x
2
+ y
2
. (1)
Геометрически или из свойств интеграла (1) получаются следую-
щие свойства приращения аргумента.
γ
∆
γ
arg z
0
z
0
z
γ
γ
1
∆
γ
arg
z
=
∆
γ
1
arg
z
0
Рис. 13 Рис. 14
Свойство 1. Пусть кривые γ,γ
1
с общим началом и общим кон-
цом не проходят через точку z = 0 и кривую γ можно непрерывно
деформировать в кривую γ
1
, не проходя через точку z = 0, т.е. в
области 0 < |z| < ∞ (рис. 14). Тогда
∆
γ
arg z = ∆
γ
1
arg z. (2)
Отметим, что если две кривые с общим началом и общим концом
нельзя непрерывно деформировать друг в друга, оставаясь в области
  § 5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций            31

параметрическое уравнение кривой γ, то

                           Z           Zβ
            ∆γ arg z =          dϕ =        ϕ0 (t) dt = ϕ(β) − ϕ(α).
                           γ           α

                    −y dx + x dy
   Так как dϕ =                  , то
                      x2 + y 2

                                      −y dx + x dy
                                   Z
                       ∆γ arg z =                  .                       (1)
                                        x2 + y 2
                                       γ


  Геометрически или из свойств интеграла (1) получаются следую-
щие свойства приращения аргумента.

                γ
                                                    ∆γ
                                                     arg



                ∆γ arg z
                                                         z=



                                                                  γ   γ1
                     0
                                                           ∆ γ1




                                                0
                                                              arg




                          z0
            z
                                                                  z




                Рис. 13                                  Рис. 14


   Свойство 1. Пусть кривые γ,γ1 с общим началом и общим кон-
цом не проходят через точку z = 0 и кривую γ можно непрерывно
деформировать в кривую γ1 , не проходя через точку z = 0, т.е. в
области 0 < |z| < ∞ (рис. 14). Тогда

                               ∆γ arg z = ∆γ1 arg z.                       (2)

   Отметим, что если две кривые с общим началом и общим концом
нельзя непрерывно деформировать друг в друга, оставаясь в области

Страницы