Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций 33
Рассмотрим теперь односвязную область D, принадлежащую
области 0 < |z| < ∞, т.е. не содержащую точку z = 0 (рис. 16).
Пусть
ϕ(z) = ϕ
0
+ ∆ϕ(z), z ∈ D, (4)
где z
0
∈ D, ϕ
0
= arg z
0
(одно из значений arg z
0
), ∆ϕ(z) = ∆
γ
arg z,
γ — кривая с началом в точке z
0
, принадлежащая области D.
Функция ϕ(z) однозначна в области D (свойство 1), непрерывна в
D и в каждой точке z ∈ D значение ϕ(z) равно одному из значений
arg z. Такую функцию ϕ(z) называют непрерывной ветвью много-
значной функции arg z в области D.
Выбирая в формуле (4) вместо ϕ
0
другие (все) значения arg z
0
,
получаем все непрерывные ветви функции arg z в области D:
ϕ
k
(z) = ϕ
0
+ ∆ϕ(z) + 2πk, k = 0, ± 1, ± 2, . . . . (5)
Отметим, что в каждой точке z ∈ D каждое значение arg z равно
значению одной (и только одной) из функций (5), т.е. arg z = ϕ
k
(z),
где k — некоторое целое число.
Таким образом, многозначная функция arg z в области D распа-
дается на однозначные непрерывные ветви (5).
Непрерывная ветвь функции arg z в области D полностью опре-
деляется своим значением в одной точке z
0
∈ D.
П р и м е р 1. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезом
по лучу (−∞,0] (рис. 17) , z
0
= 1,ϕ
0
= arg 1 = 0. Тогда непрерывная
ветвь ϕ(z) в области D, заданная значением ϕ(1) = 0, такова, что
−π < ϕ(z) < π (рис. 17).
A
A
Например, ϕ(x) = 0 при x > 0,ϕ(iy) =
π
2
при y > 0,ϕ(iy) = −
π
2
при y < 0.
A
A
В формуле (4) точка z
0
может быть граничной точкой области D.
П р и м е р 2. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезом
по лучу [0, + ∞), z
0
= 1 + i0 — точка верхнего берега разреза, ϕ
0
=
= arg 1 = 0 (рис. 18). Тогда непрерывная ветвь ϕ(z) функции arg z в
  § 5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций    33

   Рассмотрим теперь односвязную область D, принадлежащую
области 0 < |z| < ∞, т.е. не содержащую точку z = 0 (рис. 16).
Пусть
                   ϕ(z) = ϕ0 + ∆ϕ(z), z ∈ D,               (4)

где z0 ∈ D, ϕ0 = arg z0 (одно из значений arg z0 ), ∆ϕ(z) = ∆γ arg z,
γ — кривая с началом в точке z0 , принадлежащая области D.
    Функция ϕ(z) однозначна в области D (свойство 1), непрерывна в
D и в каждой точке z ∈ D значение ϕ(z) равно одному из значений
arg z. Такую функцию ϕ(z) называют непрерывной ветвью много-
значной функции arg z в области D.
    Выбирая в формуле (4) вместо ϕ0 другие (все) значения arg z0 ,
получаем все непрерывные ветви функции arg z в области D:

          ϕk (z) = ϕ0 + ∆ϕ(z) + 2πk,   k = 0, ± 1, ± 2, . . . .   (5)

   Отметим, что в каждой точке z ∈ D каждое значение arg z равно
значению одной (и только одной) из функций (5), т.е. arg z = ϕk (z),
где k — некоторое целое число.
   Таким образом, многозначная функция arg z в области D распа-
дается на однозначные непрерывные ветви (5).
   Непрерывная ветвь функции arg z в области D полностью опре-
деляется своим значением в одной точке z0 ∈ D.
    П р и м е р 1. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезом
по лучу (−∞,0] (рис. 17) , z0 = 1,ϕ0 = arg 1 = 0. Тогда непрерывная
ветвь ϕ(z) в области D, заданная значением ϕ(1) = 0, такова, что
−π < ϕ(z) < π (рис. 17).
 A Например, ϕ(x) = 0 при x > 0,ϕ(iy) = π2 при y > 0,ϕ(iy) = − π2
при y < 0. A
    В формуле (4) точка z0 может быть граничной точкой области D.
   П р и м е р 2. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезом
по лучу [0, + ∞), z0 = 1 + i0 — точка верхнего берега разреза, ϕ0 =
= arg 1 = 0 (рис. 18). Тогда непрерывная ветвь ϕ(z) функции arg z в

Страницы