Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций 35
0
∆
ϕ
γ
z
1 2 3
0
1 3 5−1−2−3−4−5−6
2 4 6
∆
ϕ
γ
z
Рис. 19 Рис. 20
стью является, например, вся комплексная плоскость с разрезом по
неограниченной кривой, соединяющей точки z = 0 и z = ∞. В такой
области и в любой е е подобласти многозначная функция arg z допус-
кает выделение однозначных непрерывных ветвей.
П р и м е р 4. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезом
по кривой z =
t
π
e
it
,
0 6 t < ∞ (рис. 20) и ϕ(z) — непрерывная ветвь функции arg z в
области D такая, что ϕ(5) = 2π. Тогда
ϕ(z) = 2π + ∆
γ
arg z,
где γ — кривые с началом в точке z
0
= 5, лежащие в области D.
Выбирая различные такие кривые γ, с помощью рис. 20 находим,
например: ϕ(−6) = 3π, ϕ(7) = 4π, ϕ(−4) = π, ϕ(3) = 0, ϕ(−2) = −π,
ϕ(1) = −2π.
A
A
  § 5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций              35




                       γ                                           z
         z

                                                                        γ
                  ∆ϕ




                                                             ∆ϕ
              0        1   2 3
                                  −6 −5 −4 −3 −2 −1 0    1   2 3       4 5   6




             Рис. 19                               Рис. 20


стью является, например, вся комплексная плоскость с разрезом по
неограниченной кривой, соединяющей точки z = 0 и z = ∞. В такой
области и в любой ее подобласти многозначная функция arg z допус-
кает выделение однозначных непрерывных ветвей.

   П р и м е р 4. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезом
по кривой z = πt eit ,
0 6 t < ∞ (рис. 20) и ϕ(z) — непрерывная ветвь функции arg z в
области D такая, что ϕ(5) = 2π. Тогда


                           ϕ(z) = 2π + ∆γ arg z,


где γ — кривые с началом в точке z0 = 5, лежащие в области D.
Выбирая различные такие кривые γ, с помощью рис. 20 находим,
например: ϕ(−6) = 3π, ϕ(7) = 4π, ϕ(−4) = π, ϕ(3) = 0, ϕ(−2) = −π,
ϕ(1) = −2π. A

Страницы