Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

36 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
2. Определение аналитической в области функции
Определение 1. Пусть заданы область D и элемент f
0
(z) в
точке z
0
∈ D такой, что его можно аналитически продолжить по лю-
бой кривой с началом в точке z
0
, лежащей в области D, т.е. любая
такая кривая является допустимой для элемента f
0
(z). Аналитиче-
ской в области D функцией с исходным элементом f
0
(z) (порожден-
ной элементом f
0
(z)) называется множество элементов, полученных
в результате аналитического продолжения эл емента f
0
(z) по всем
кривым с началом в точке z
0
, лежащим в области D.
Аналитическую в области функцию будем обозначать f (z),F (z) и
т.п., хотя эта функция может быть неоднозначной как функция точки
плоскости z.
П р и м е р 5.
1) Из свойства 2, §2 следует, что функция Ln z аналитична в области
0 < |z| < ∞.
2) Из свойства 1, §3 следует, что функция z
b
(b — любое комплексное
число) аналитична в области 0 < |z| < ∞.
3) Функция Ln[(z −a)(z −b)], где a,b — действительные числа, a < b,
аналитична в расширенной комплексной плоскости с выколотыми
точками z = a,z = b,z = ∞ (пример 1, §4).
4) Функция (z−a)
α
(z−b)
β
, где a,b,α,β — действительные числа, a < b,
аналитична в расширенной комплексной плоскости с выколотыми
точками z = a,z = b,z = ∞ (пример 2, §4).
A
A
П р и м е р 6. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезом
по лучу (−∞,0] (пример 1, рис. 17) и f
0
(z) — элемент функции Ln z,
заданной в точке z
0
= 1 значением f
0
(1) = 0. По свойству 2, §2 любая
кривая γ с началом в точке z
0
= 1, лежащая в области D, является
допустимой для элемента f
0
(z). Следовательно, элемент f
0
(z) поро-
ждает аналитическую в области D функцию, обозначим ее f(z). Из
свойств функции Ln z (§2) и функции ∆
γ
arg z (пример 1) получается,
36         Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции


2. Определение аналитической в области функции

   Определение 1. Пусть заданы область D и элемент f0 (z) в
точке z0 ∈ D такой, что его можно аналитически продолжить по лю-
бой кривой с началом в точке z0 , лежащей в области D, т.е. любая
такая кривая является допустимой для элемента f0 (z). Аналитиче-
ской в области D функцией с исходным элементом f0 (z) (порожден-
ной элементом f0 (z)) называется множество элементов, полученных
в результате аналитического продолжения элемента f0 (z) по всем
кривым с началом в точке z0 , лежащим в области D.
    Аналитическую в области функцию будем обозначать f (z),F (z) и
т.п., хотя эта функция может быть неоднозначной как функция точки
плоскости z.

     П р и м е р 5.
1) Из свойства 2, §2 следует, что функция Ln z аналитична в области
   0 < |z| < ∞.
2) Из свойства 1, §3 следует, что функция z b (b — любое комплексное
   число) аналитична в области 0 < |z| < ∞.
3) Функция Ln[(z − a)(z − b)], где a,b — действительные числа, a < b,
   аналитична в расширенной комплексной плоскости с выколотыми
   точками z = a,z = b,z = ∞ (пример 1, §4).
4) Функция (z−a)α (z−b)β , где a,b,α,β — действительные числа, a < b,
   аналитична в расширенной комплексной плоскости с выколотыми
   точками z = a,z = b,z = ∞ (пример 2, §4). A

   П р и м е р 6. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезом
по лучу (−∞,0] (пример 1, рис. 17) и f0 (z) — элемент функции Ln z,
заданной в точке z0 = 1 значением f0 (1) = 0. По свойству 2, §2 любая
кривая γ с началом в точке z0 = 1, лежащая в области D, является
допустимой для элемента f0 (z). Следовательно, элемент f0 (z) поро-
ждает аналитическую в области D функцию, обозначим ее f (z). Из
свойств функции Ln z (§2) и функции ∆γ arg z (пример 1) получается,

Страницы