Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций 37
что f (z) — однозначная регулярная в области D функция:
f(z) = ln |z| + iϕ, где ϕ = arg z, − π < ϕ < π. (6)
Аналогично, если g
0
(z) — элемент функции z
b
в точке z
0
= 1
такой, что g
0
(1) = 1, то этот элемент порождает аналитическую в
области D функцию g(z), которая однозначна и регулярна в области
D:
g(z) = e
b(ln |z|+iϕ)
, −π < ϕ < π.
A
A
(7)
Вообще регулярная в области функция является аналитической
в этой области, т.е. регулярная в области функция — это частный
случай аналитической в области функции.
В примере 6 функцию (6) называют регулярной ветвью функции
Ln z в области D, а функцию (7) — регулярной ветвью функции z
b
в
этой области.
3. Аналитические и регулярные ветви полных
аналитических функций
Определение 2. Аналитической ветвью полной аналитической
функции F (z) в области D называется аналитическая в области D
функция f (z) такая, что некоторый элемент функции f (z) явля-
ется одним из элементов функции F (z).
Если для заданной аналитической функции F (z) существует ана-
литическая ветвь в заданной области D, то говорят, что “в области D
можно выделить аналитическую ветвь функции F (z)” или “функция
F (z) допускает выделение аналитической ве тви в области D”.
Поясним более подробно определение 2. Пусть задана полная ана-
литическая функция F (z) своим исходным элементом f
0
(z) в точке z
0
.
И пусть существует точка z
1
, принадлежащая заданной области D,
такая, что элемент f
0
(z) можно аналитически продолжить по неко-
торой кривой в точку z
1
и в результате в точке z
1
получится элемент
f
1
(z) функции F (z).
  § 5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций    37


что f (z) — однозначная регулярная в области D функция:

        f (z) = ln |z| + iϕ,   где   ϕ = arg z,   − π < ϕ < π.    (6)

   Аналогично, если g0 (z) — элемент функции z b в точке z0 = 1
такой, что g0 (1) = 1, то этот элемент порождает аналитическую в
области D функцию g(z), которая однозначна и регулярна в области
D:
                 g(z) = eb(ln |z|+iϕ) , − π < ϕ < π. A       (7)


   Вообще регулярная в области функция является аналитической
в этой области, т.е. регулярная в области функция — это частный
случай аналитической в области функции.
   В примере 6 функцию (6) называют регулярной ветвью функции
Ln z в области D, а функцию (7) — регулярной ветвью функции z b в
этой области.
3. Аналитические и регулярные ветви полных
   аналитических функций
   Определение 2. Аналитической ветвью полной аналитической
функции F (z) в области D называется аналитическая в области D
функция f (z) такая, что некоторый элемент функции f (z) явля-
ется одним из элементов функции F (z).
    Если для заданной аналитической функции F (z) существует ана-
литическая ветвь в заданной области D, то говорят, что “в области D
можно выделить аналитическую ветвь функции F (z)” или “функция
F (z) допускает выделение аналитической ветви в области D”.
    Поясним более подробно определение 2. Пусть задана полная ана-
литическая функция F (z) своим исходным элементом f0 (z) в точке z0 .
И пусть существует точка z1 , принадлежащая заданной области D,
такая, что элемент f0 (z) можно аналитически продолжить по неко-
торой кривой в точку z1 и в результате в точке z1 получится элемент
f1 (z) функции F (z).

Страницы