Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 39 стр.

  § 5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций      39

зывается, что в общем случае аналитическое продолжение обладает
следующим замечательным свойством.

   Теорема 1. (О монодромии) Пусть элемент f0 (z), заданный в
точке z0 ∈ D, можно аналитически продолжить по любой кривой с
началом в точке z0 , принадлежащей области D. И пусть две кривые
γ1 и γ2 с общим началом в точке z0 и общим концом в точке z1 ∈
∈ D, лежащие в области D, можно непрерывно деформировать друг
в друга, оставаясь в области D. Тогда в результате аналитического
продолжения элемента f0 (z) из точки z0 в точку z1 вдоль кривых γ1
и γ2 в точке z1 получается один и тот же элемент.

   Доказательство этой теоремы см. в [2].
   Если D — односвязная область, то любые две кривые с общим
началом и общим концом можно непрерывно деформировать друг в
друга, оставаясь в области D. Поэтому из теоремы о монодромии
получается

   Следствие. Аналитическая в односвязной области функция од-
нозначна и, следовательно, регулярна.

   П р и м е р 7. Пусть D — область примера 4 (рис. 20). Выберем в
точке z0 = 5 элемент f0 (z) функции Ln z такой, что f0 (5) = ln 5 + 2πi.
По свойству 2, §2 этот элемент допускает аналитическое продолжение
по любой кривой γ с началом в точке z0 = 5, лежащей в области D.
Следовательно, элемент f0 (z) порождает аналитическую в области
D функцию (определение 1), обозначим ее f (z). По определению 2
функция f (z) является аналитической ветвью функции Ln z в области
D. Так как D — односвязная область, то по теореме о монодромии
функция f (z) однозначна и регулярна в области D, т.е. является
регулярной ветвью функции Ln z в области D.
   По свойству 6, §2 значения функции f (z) находятся по формуле

                    f (z) = ln |z| + (2π + ∆γ arg z)i.