Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций 41
1) найти формулу для вычисления значений функции f (z);
2) найти формулу для производной функции f (z);
3) разложить функцию f(z) в ряду Тейлора в окрестности точки z
1
=
= 1 + 2i по степеням (z − 1 − 2i).
A
A
1) По свойству 6, §2 получаем
f(z) = ln |z − 1| + (π + ∆
γ
arg(z − 1))i. (9)
По этой формуле с помощью рис. 21 находим:
f(4) = ln 3 + 2πi, f
1 +
i
2
= −ln 2 +
πi
2
,
f(2 −i0) = 2πi, f(2 + i0) = 0.
Как и в последних двух случаях, получается, что в каждой точке
разреза на разных его берегах значения функции f (z) отличаются
на 2πi. Поэтому функцию f(z) нельзя “склеить” вдоль разреза так,
чтобы получилась непрерывная функция.
2) По свойству 4, §2 получаем
f
0
(z) =
1
z − 1
.
3) Функция f (z) в окрестности точки z
1
= 1+2i является одним из
элементов функции Ln(z−1) в этой точке. По свойству 5, §2 получаем
f(z) = Ln(z − 1) = Ln[(z − 1 − 2i) + 2i] =
= Ln
2i
1 +
z − 1 − 2i
2i

= Ln(2i) + Ln
1 +
z − 1 − 2i
2i
=
= ln 2 +
π
2
+ 2πk
i +
∞
X
n−1
(−1)
n−1
n(2i)
n
(z − 1 − 2i)
n
, (10)
где k — некоторое целое число, которое нужно найти.
По формуле (9) находим
f(1 + 2i) = ln 2 +
π +
3π
2
i,
  § 5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций        41


1) найти формулу для вычисления значений функции f (z);
2) найти формулу для производной функции f (z);
3) разложить функцию f (z) в ряду Тейлора в окрестности точки z1 =
   = 1 + 2i по степеням (z − 1 − 2i).
 A 1) По свойству 6, §2 получаем

                f (z) = ln |z − 1| + (π + ∆γ arg(z − 1))i.            (9)

   По этой формуле с помощью рис. 21 находим:
                                         
                                        i             πi
            f (4) = ln 3 + 2πi, f 1 +       = − ln 2 + ,
                                        2             2
                   f (2 − i0) = 2πi, f (2 + i0) = 0.
   Как и в последних двух случаях, получается, что в каждой точке
разреза на разных его берегах значения функции f (z) отличаются
на 2πi. Поэтому функцию f (z) нельзя “склеить” вдоль разреза так,
чтобы получилась непрерывная функция.
   2) По свойству 4, §2 получаем
                                          1
                             f 0 (z) =       .
                                         z−1
   3) Функция f (z) в окрестности точки z1 = 1+2i является одним из
элементов функции Ln(z−1) в этой точке. По свойству 5, §2 получаем

 f (z) = Ln(z − 1) = Ln[(z − 1 − 2i) + 2i] =
                                                               
                     z − 1 − 2i                          z − 1 − 2i
       = Ln 2i 1 +                 = Ln(2i) + Ln 1 +                  =
                         2i                                  2i
                               ∞
                π           X   (−1)n−1
       = ln 2 +    + 2πk i +               (z − 1 − 2i)n ,            (10)
                 2                 n(2i)n
                               n−1

где k — некоторое целое число, которое нужно найти.
   По формуле (9) находим
                                             
                                           3π
                   f (1 + 2i) = ln 2 + π +      i,
                                            2

Страницы