Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

40 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
Например, с помощью рис. 20 находим:
f(7) = ln 7 + 4π i, f(−4) = ln 4 + π i, f(3) = ln 3, f(1) = −2πi.
Выбирая в точке z
0
другие (все) значения Ln z
0
получаем все ре-
гулярные ветви функции Ln z в области D:
f
k
(z) = ln |z| + (2π + 2πk + ∆
γ
arg z)i, k = 0, ± 1, ± 2, . . . . (8).
Отметим, что в каждой точке z ∈ D каждое значение Ln z равно
значению одной (и только одной) из функций (8), т.е. Ln z = f
k
(z),
где k — некоторое целое число.
Таким образом, многозначная функция Ln z в области D распада-
ется на однозначные регулярные ветви (8).
A
A
Регулярная ветвь функции Ln z в области D полностью опреде-
ляется своим значением в одной точке z
0
∈ D.
Отметим, что не каждая аналитическая функция F (z) обладает
последним свойством. Например, аналитическая функция F (z) =
= sin z Ln z в рассматриваемой области D распадается на регулярные
ветви sin zf
k
(z), где f
k
(z) определяется формулой (8). Однако, значе-
ние всех этих ветвей, например, в точке z
0
= π, одно и то же — равно
нулю.
∆
γ
arg
(
z
−
1)
γ
z
1 + 2i
0
1
3
3 + i
2 + i0
2 − i0
Рис. 21.
П р и м е р 8. Пусть D — вся комплекс-
ная плоскость с разрезом по отрезкам [1,3],
[3,3+i) и лучу (−∞+i,3+i] (рис. 21). Так
же, как и в примере 7, доказывается, что
аналитическая функция Ln(z − 1) в обла-
сти D распадается на регулярные ветви,
каждая из которых полностью определя-
ется своим значением в некоторой точке
z
0
∈ D — одним из значений Ln(z
0
− 1).
Пусть z
0
= 0 и f(z) — такая регулярная ветвь функции Ln(z −1)
в области D, что f (0) = πi. Поставим следующие задачи:
40           Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции

     Например, с помощью рис. 20 находим:

     f (7) = ln 7 + 4πi,   f (−4) = ln 4 + πi,   f (3) = ln 3,   f (1) = −2πi.

   Выбирая в точке z0 другие (все) значения Ln z0 получаем все ре-
гулярные ветви функции Ln z в области D:

      fk (z) = ln |z| + (2π + 2πk + ∆γ arg z)i, k = 0, ± 1, ± 2, . . . .     (8).

   Отметим, что в каждой точке z ∈ D каждое значение Ln z равно
значению одной (и только одной) из функций (8), т.е. Ln z = fk (z),
где k — некоторое целое число.
   Таким образом, многозначная функция Ln z в области D распада-
ется на однозначные регулярные ветви (8). A
   Регулярная ветвь функции Ln z в области D полностью опреде-
ляется своим значением в одной точке z0 ∈ D.
   Отметим, что не каждая аналитическая функция F (z) обладает
последним свойством. Например, аналитическая функция F (z) =
= sin z Ln z в рассматриваемой области D распадается на регулярные
ветви sin zfk (z), где fk (z) определяется формулой (8). Однако, значе-
ние всех этих ветвей, например, в точке z0 = π, одно и то же — равно
нулю.


    П р и м е р 8. Пусть D — вся комплекс-                 1 + 2i
ная плоскость с разрезом по отрезкам [1,3],
[3,3 + i) и лучу (−∞ + i,3 + i] (рис. 21). Так                         3+i
же, как и в примере 7, доказывается, что                      2 + i0
                                               0       1
аналитическая функция Ln(z − 1) в обла-        ∆
                                                 γ a          2 − i0 3
сти D распадается на регулярные ветви,               rg
                                                        (z
каждая из которых полностью определя-                      −
                                                             1)
ется своим значением в некоторой точке            γ               z
z0 ∈ D — одним из значений Ln(z0 − 1).                    Рис. 21.
    Пусть z0 = 0 и f (z) — такая регулярная ветвь функции Ln(z − 1)
в области D, что f (0) = πi. Поставим следующие задачи:

Страницы