Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

42 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
а по формуле (10) получаем
f(1 + 2i) = ln 2 +
π
2
+ 2πk
i,
откуда k = 1, и поэтому
f(z) = ln 2 +
5πi
2
+
∞
X
n=1
(−1)
n−1
n(2i)
n
(z −1 −2i)
n
. (11)
K
0
1 + 2i
1
D
1
D
2
3
3 + i
Рис. 22.
Этот ряд сходится к функции f(z) в
любой окрестности точки z
1
= 1 +
+ 2i, лежащей в области D , в част-
ности, в круге K
0
: |z − 1 − 2i| < 1
(рис. 22). Однако кругом сходимости
ряда является круг K : |z−1−2i| < 2.
Луч (−∞ + i,3 + i] “разрезает” круг
K на две области: D
1
: |z − 1 −2i| <
< 2, Im z > 1 и D
2
: |z − 1 − 2i| < 2,
Im z < 1 (рис. 22).
В области D
1
ряд (11) сходится к
функции f(z) по теореме единствен-
ности, так как ряд (11) и функция f(z) регулярны в области D
1
, и
они совпадают в круге K
0
.
В области D
2
ряд (11) сходится, но не к функции f(z), так как
ряд (11) — регулярная в круге K функция, а функция f(z) терпит
разрыв на луче (−∞+ i,3 + i]. В точках z области D
2
значения ряда
(11) равны f(z) + 2πi.
A
A
П р и м е р 9. Пусть D — та же самая область, что и в примере
8 (рис. 21), и g(z) — регулярная ветвь функции
4
√
z − 1 в области D
такая, что g(0) = e
πi
4
. Решим для функции g(z) такие же задачи, как
и для функции f(z) в примере 8.
A
A
1) По свойству 5, §3 получаем
g(z) =
4
p
|z − 1|e
i
4
(π+∆
γ
arg(z−1))
. (12)
42        Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции


а по формуле (10) получаем
                                            π        
                   f (1 + 2i) = ln 2 +           + 2πk i,
                                             2
откуда k = 1, и поэтому
                                  ∞
                          5πi X (−1)n−1
            f (z) = ln 2 +    +               (z − 1 − 2i)n .   (11)
                            2          n(2i)n
                                 n=1
Этот ряд сходится к функции f (z) в
любой окрестности точки z1 = 1 +
+ 2i, лежащей в области D, в част-
                                                D1
ности, в круге K0 : |z − 1 − 2i| < 1
(рис. 22). Однако кругом сходимости                    K0
ряда является круг K : |z−1−2i| < 2.
                                                     1 + 2i
Луч (−∞ + i,3 + i] “разрезает” круг
K на две области: D1 : |z − 1 − 2i| <                           3+i
< 2, Im z > 1 и D2 : |z − 1 − 2i| < 2,              D2
Im z < 1 (рис. 22).
                                                       1      3
   В области D1 ряд (11) сходится к
                                                     Рис. 22.
функции f (z) по теореме единствен-
ности, так как ряд (11) и функция f (z) регулярны в области D1 , и
они совпадают в круге K0 .
   В области D2 ряд (11) сходится, но не к функции f (z), так как
ряд (11) — регулярная в круге K функция, а функция f (z) терпит
разрыв на луче (−∞ + i,3 + i]. В точках z области D2 значения ряда
(11) равны f (z) + 2πi. A
    П р и м е р 9. Пусть D — та же самая область,
                                                √ что и в примере
8 (рис. 21), и g(z) — регулярная ветвь функции 4 z − 1 в области D
                    πi
такая, что g(0) = e 4 . Решим для функции g(z) такие же задачи, как
и для функции f (z) в примере 8.
 A 1) По свойству 5, §3 получаем
                             p          i
                  g(z) =     4
                              |z − 1| e 4 (π+∆γ arg(z−1)) .     (12)

Страницы