Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций 43
Например, по этой формуле с помощью рис. 21 находим: g(4) =
= i
4
√
3, g(2 − i0) = i, g(2 + i0) = 1.
Как и в последних двух случаях, получается, что в каждой точке
разреза на разных его берегах значения функции g(z) отличаются
множителем i, и поэтому функцию g(z) нельзя “склеить” вдоль раз-
реза.
2) По свойству 3, §3 получаем
g
0
(z) =
1
4(z −1)
g(z).
Например, по этой формуле и формуле (12) находим
g
0
(4) =
i
4
√
3
12
, g
0
(0) = −
√
2
8
(1 + i).
3) По свойству 4, §3 в окрестности точки z
1
= 1 + 2i получаем
g(z) =
4
√
z −1 = [(z −1 − 2i) + 2i]
1
4
= (2i)
1
4
1 +
z −1 − 2i
2i
1
4
=
=
4
√
2e
πi
8
(1+4k)
∞
X
n=0
C
n
1
4
1
(2i)
n
(z −1 − 2i)
n
, (13)
где k — некоторое целое число, которое нужно найти.
По формуле (12) находим
g(1 + 2 i) =
4
√
2e
5πi
8
,
а по формуле (13) получаем
g(1 + 2 i) =
4
√
2e
πi
8
(1+4k)
,
откуда
e
πi
8
(1+4k)
= e
5πi
8
. (14)
  § 5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций                                               43


   √Например, по этой формуле с помощью рис. 21 находим: g(4) =
= i 4 3, g(2 − i0) = i, g(2 + i0) = 1.
    Как и в последних двух случаях, получается, что в каждой точке
разреза на разных его берегах значения функции g(z) отличаются
множителем i, и поэтому функцию g(z) нельзя “склеить” вдоль раз-
реза.
    2) По свойству 3, §3 получаем

                                                        1
                                    g 0 (z) =                g(z).
                                                    4(z − 1)

   Например, по этой формуле и формуле (12) находим
                         √              √
                 0      i43    0          2
                g (4) =     , g (0) = −     (1 + i).
                         12              8
   3) По свойству 4, §3 в окрестности точки z1 = 1 + 2i получаем
                                                                                                     1
             √
                                                                                 
             4                                            1                  1          z − 1 − 2i    4
  g(z) =         z − 1 = [(z − 1 − 2i) + 2i] = (2i)       4                  4       1+                   =
                                                                                            2i
                                  ∞
             √        πi
                         (1+4k)
                                  X              1
                                        C n1         (z − 1 − 2i)n ,
             4
         =       2e   8                                                                                   (13)
                                          4    (2i)n
                                  n=0

где k — некоторое целое число, которое нужно найти.
   По формуле (12) находим
                                                          √
                                                          4        5πi
                                        g(1 + 2i) =           2e    8    ,
а по формуле (13) получаем
                                                      √       πi
                                                          2e 8 (1+4k) ,
                                                      4
                                   g(1 + 2i) =

откуда
                                               πi             5πi
                                          e 8 (1+4k) = e       8    .                                     (14)

Страницы