Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций 45
Пусть f
0
(z) — исходный элемент функции (18) в точке z
0
∈ D,
заданный значением
f
0
(z
0
) = πi + ln |z
0
− a| + iϕ
(0)
1
− ln |z
0
− b| − iϕ
(0)
2
, (19)
где ϕ
(0)
1
= arg(z
0
− a), ϕ
(0)
2
= arg(z
0
− b) (рис. 12).
Элемент f
0
(z) можно аналитически продолжить по любой кривой
γ с началом в точке z
0
, лежащей в области D. Следовательно, элемент
f
0
(z) порождает аналитическую в области D функцию f(z) (опре-
деление 1), которая является аналитической ветвью функции (18) в
области D (определение 2).
Значения функции f (z) вычисляются по формуле
f(z) = ln
z −a
b − z
+ (π + ϕ
(0)
1
− ϕ
(0)
2
)i + (∆ϕ
1
− ∆ϕ
2
)i, (20)
где γ — кривые с началом в точке z
0
, лежащие в области D, ∆ϕ
1
=
= ∆
γ
arg(z − a), ∆ϕ
1
= ∆
γ
arg(z − b) (рис. 12).
Покажем, что функция f(z) однозначна и, следовательно, регу-
лярна в области D.
Пусть сначала z = z
0
. Если кривая γ
1
с началом и концом в
точке z
0
не совершает оборот вокруг разреза (на рис. 23 γ
1
— про-
стая замкнутая кривая, не содержащая внутри себя отрезок [a,b]), то
∆
γ
1
arg(z − a) = 0, ∆
γ
1
arg(z − b) = 0, и по формуле (20) получаем
f(z
0
) = f
0
(z
0
). Если замкнутая кривая γ
2
с началам и концом в точке
z
0
совершает один оборот вокруг разреза, например, против часовой
стрелки (на рис. 23 γ
2
— простая замкнутая кривая, содержащая вну-
три себя отрезок [a,b]), то ∆
γ
2
arg(z − a) = 2π, ∆
γ
2
arg(z − b) = 2π, и
по формуле (20) снова получаем f(z
0
) = f
0
(z
0
). Аналогично доказы-
вается, что функция (20) однозначна в каждой точке z ∈ D.
Итак, функция f (z), заданная формулой (20), является регулярной
ветвью функции F (z) в области D.
Все регулярные ве тви функции F (z) в области D находятся по
формуле
f
k
(z) = f(z) + 2πki, k = 0, ± 1, ± 2, . . . .
  § 5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций        45


   Пусть f0 (z) — исходный элемент функции (18) в точке z0 ∈ D,
заданный значением
                                          (0)                  (0)
            f0 (z0 ) = πi + ln |z0 − a| + iϕ1 − ln |z0 − b| − iϕ2 ,   (19)
     (0)                    (0)
где ϕ1 = arg(z0 − a), ϕ2 = arg(z0 − b) (рис. 12).
    Элемент f0 (z) можно аналитически продолжить по любой кривой
γ с началом в точке z0 , лежащей в области D. Следовательно, элемент
f0 (z) порождает аналитическую в области D функцию f (z) (опре-
деление 1), которая является аналитической ветвью функции (18) в
области D (определение 2).
    Значения функции f (z) вычисляются по формуле

                        z−a         (0)  (0)
           f (z) = ln       + (π + ϕ1 − ϕ2 )i + (∆ϕ1 − ∆ϕ2 )i,        (20)
                        b−z
    где γ — кривые с началом в точке z0 , лежащие в области D, ∆ϕ1 =
= ∆γ arg(z − a), ∆ϕ1 = ∆γ arg(z − b) (рис. 12).
    Покажем, что функция f (z) однозначна и, следовательно, регу-
лярна в области D.
    Пусть сначала z = z0 . Если кривая γ1 с началом и концом в
точке z0 не совершает оборот вокруг разреза (на рис. 23 γ1 — про-
стая замкнутая кривая, не содержащая внутри себя отрезок [a,b]), то
∆γ1 arg(z − a) = 0, ∆γ1 arg(z − b) = 0, и по формуле (20) получаем
f (z0 ) = f0 (z0 ). Если замкнутая кривая γ2 с началам и концом в точке
z0 совершает один оборот вокруг разреза, например, против часовой
стрелки (на рис. 23 γ2 — простая замкнутая кривая, содержащая вну-
три себя отрезок [a,b]), то ∆γ2 arg(z − a) = 2π, ∆γ2 arg(z − b) = 2π, и
по формуле (20) снова получаем f (z0 ) = f0 (z0 ). Аналогично доказы-
вается, что функция (20) однозначна в каждой точке z ∈ D.
    Итак, функция f (z), заданная формулой (20), является регулярной
ветвью функции F (z) в области D.
    Все регулярные ветви функции F (z) в области D находятся по
формуле
                   fk (z) = f (z) + 2πki, k = 0, ± 1, ± 2, . . . .

Страницы