Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

46 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
2) Пусть f
0
(z) — элемент функции F (z) = (z − a)
α
(b − z)
1−α
,
заданный в точке z
0
∈ D (рис. 23) значением
f
0
(z
0
) = |z
0
− a|
α
|b − z
0
|
1−α
e
iαϕ
(0)
1
+i(1−α)(π+ϕ
(0)
2
)
, (21)
где ϕ
(0)
1
= arg(z
0
− a), ϕ
(0)
2
= arg(z
0
− b) (рис. 12).
Элемент f
0
(z) можно аналитически продолжить по любой кривой
γ с началом в точке z
0
, лежащей в области D (пример 2, §4). Сле-
довательно, f
0
(z) порождает аналитическую в области D функцию
f(z) — аналитическую ветвь аналитической функции F (z). Значе-
ния функции f(z) находятся по формуле (пример 2, §4)
f(z) = |z −a|
α
|b − z|
1−α
e
iαϕ
(0)
1
+i(1−α)(π+ϕ
(0)
2
)
e
iα∆ϕ
1
+i(1−α)∆ϕ
2
, (22)
где ∆ϕ
1
= ∆
γ
arg(z − a), ∆ϕ
2
= ∆
γ
arg(z − b) (рис. 12).
По ф ормуле (22) получаем: если кривая γ
1
не совершает оборот
вокруг разреза (рис. 23), то ∆ϕ
1
= 0,∆ϕ
2
= 0 и f (z
0
) = f
0
(z
0
); если
кривая γ
2
делает оборот вокруг разреза (рис. 23), то ∆ϕ
1
= 2π, ∆ϕ
2
=
= 2π и снова f (z
0
) = f
0
(z
0
). Аналогично доказывается, что функция
(22) однозначна и, следовательно, регулярна во всей области D.
Таким образом, f (z) — регулярная ветвь аналитической функции
F (z). Все регулярные ветви функции F (z) в области D находятся по
формуле
f
k
(z) = f(z)e
2πkαi
, k = 0, ± 1, ± 2, . . . .
Из этой формулы, в частности, получается, что функция F (z) рас-
падается на конечное число различных регулярных ветвей, если α —
рациональное число, и на бесконечное, если α — иррациональное чи-
сло.
A
A
В примере 10 точку z
0
можно выбрать на верхнем или нижнем берегу
разреза интервала (a,b). Приведем такие примеры.
П р и м е р 11. Пусть f (z) — регулярная ветвь функции Ln
z − 1
3 − z
в
плоскости с разрезом по отрезку [1,3] (рис. 24) такая, что f (2+i0) = 0.
46           Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции


   2) Пусть f0 (z) — элемент функции F (z) = (z − a)α (b − z)1−α ,
заданный в точке z0 ∈ D (рис. 23) значением
                                                     (0)              (0)
              f0 (z0 ) = |z0 − a|α |b − z0 |1−α eiαϕ1      +i(1−α)(π+ϕ2 )
                                                                            ,       (21)
       (0)                   (0)
где ϕ1 = arg(z0 − a), ϕ2 = arg(z0 − b) (рис. 12).
    Элемент f0 (z) можно аналитически продолжить по любой кривой
γ с началом в точке z0 , лежащей в области D (пример 2, §4). Сле-
довательно, f0 (z) порождает аналитическую в области D функцию
f (z) — аналитическую ветвь аналитической функции F (z). Значе-
ния функции f (z) находятся по формуле (пример 2, §4)
                                     (0)                (0)
     f (z) = |z − a|α |b − z|1−α eiαϕ1     +i(1−α)(π+ϕ2 ) iα∆ϕ1 +i(1−α)∆ϕ2
                                                              e                 ,   (22)

где ∆ϕ1 = ∆γ arg(z − a), ∆ϕ2 = ∆γ arg(z − b) (рис. 12).
    По формуле (22) получаем: если кривая γ1 не совершает оборот
вокруг разреза (рис. 23), то ∆ϕ1 = 0,∆ϕ2 = 0 и f (z0 ) = f0 (z0 ); если
кривая γ2 делает оборот вокруг разреза (рис. 23), то ∆ϕ1 = 2π, ∆ϕ2 =
= 2π и снова f (z0 ) = f0 (z0 ). Аналогично доказывается, что функция
(22) однозначна и, следовательно, регулярна во всей области D.
    Таким образом, f (z) — регулярная ветвь аналитической функции
F (z). Все регулярные ветви функции F (z) в области D находятся по
формуле
               fk (z) = f (z)e2πkαi , k = 0, ± 1, ± 2, . . . .
   Из этой формулы, в частности, получается, что функция F (z) рас-
падается на конечное число различных регулярных ветвей, если α —
рациональное число, и на бесконечное, если α — иррациональное чи-
сло. A
В примере 10 точку z0 можно выбрать на верхнем или нижнем берегу
разреза интервала (a,b). Приведем такие примеры.
                                                                 z−1
     П р и м е р 11. Пусть f (z) — регулярная ветвь функции Ln         в
                                                                 3−z
плоскости с разрезом по отрезку [1,3] (рис. 24) такая, что f (2+i0) = 0.

Страницы