Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

48 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
3) Разложим в ряды Тейлора все элементы функции Ln
z − 1
3 − z
в
окрестности точки z = 1 + 2i (замечание 3, §2):
Ln
z − 1
3 − z
= Ln
2i + (z − 1 − 2i)
2 − 2i − (z − 1 − 2i)
=
= Ln
2i
2 − 2i
+ Ln
1 +
z − 1 − 2i
2i
− Ln
1 −
z − 1 − 2i
2 − 2i
=
= ln
1
√
2
+
3πi
4
+ 2πki +
∞
X
n=1
(−1)
n−1
n(2i)
n
(z − 1 − 2i)
n
+
+
∞
X
n=1
1
n(2 − 2i)
n
(z − 1 − 2i)
n
, k = 0, ± 1, ± 2, . . . .
Так как функция f (z) в окрестности точки z = 1 + 2i является
одним из этих элементов, то
f(z) = −
1
2
ln 2 +
3πi
4
+ 2πki +
∞
X
n=1
1
n2
n
1
(1 − i)
n
− i
n
(z − 1 − 2i)
n
,
где k — целое число, которое нужно найти.
Подставляя в этот ряд z = 1 + 2i, получаем
f(1 + 2i) = −
1
2
ln 2 +
3πi
4
+ 2πki,
а по формуле (23) (см. п.1)
f(1 + 2i) = −
1
2
ln +
3πi
4
.
Следовательно, k = 0 и
f(z) = −
1
2
ln 2 +
3πi
4
+
∞
X
n=1
1
n2
n
1
(1 − i)
n
− i
n
(z − 1 − 2i)
n
.
Этот ряд во всем его круге сходимости |z −1 −2i| < 2 сходится к
функции f(z).
48         Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции

                                                                       z−1
     3) Разложим в ряды Тейлора все элементы функции Ln                    в
                                                                       3−z
окрестности точки z = 1 + 2i (замечание 3, §2):
     z−1         2i + (z − 1 − 2i)
Ln       = Ln                         =
     3−z      2 − 2i − (z −1 − 2i)                                
                 2i               z − 1 − 2i              z − 1 − 2i
         = Ln         + Ln 1 +                 − Ln 1 −                =
              2 − 2i                  2i                     2 − 2i
                                     ∞
                                    X (−1)n−1
               1     3πi
         = ln √ +        + 2πki +               (z − 1 − 2i)n +
                2     4                  n(2i)n
                                    n=1
            ∞
           X        1
         +                (z − 1 − 2i)n , k = 0, ± 1, ± 2, . . . .
               n(2 − 2i)n
             n=1

    Так как функция f (z) в окрестности точки z = 1 + 2i является
одним из этих элементов, то
                               ∞                   
          1       3πi          X   1      1
 f (z) = − ln 2 +     + 2πki +                 − i (z − 1 − 2i)n ,
                                                  n
          2        4              n2n (1 − i)n
                                    n=1

где k — целое число, которое нужно найти.
   Подставляя в этот ряд z = 1 + 2i, получаем
                                  1       3πi
                    f (1 + 2i) = − ln 2 +     + 2πki,
                                  2        4
а по формуле (23) (см. п.1)
                                      1     3πi
                        f (1 + 2i) = − ln +     .
                                      2      4
Следовательно, k = 0 и
                              ∞                            
               1       3πi X 1                   1
      f (z) = − ln 2 +    +                            − i (z − 1 − 2i)n .
                                                          n
               2        4   n2n               (1 − i)n
                              n=1

   Этот ряд во всем его круге сходимости |z − 1 − 2i| < 2 сходится к
функции f (z).

Страницы