Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций 49
4) В кольце 3 < |z| < ∞ функция Ln
z − 1
3 − z
распадается на регуляр-
ные ветви, для которых ряды Лорана по степеням z можно получить
следующим с пособом:
Ln
z − 1
3 − z
= Ln
(−1)
1 −
1
z
1 −
3
z
= Ln(−1) + Ln(1 −
1
z
)−
− Ln
1 −
3
z
= −πi + 2πli −
∞
X
n=1
1
nz
n
+
+
∞
X
n=1
3
n
nz
n
, l = 0, ± 1, ± 2, . . . .
Так как функция f (z) является одной из этих ветвей, то
f(z) = −πi + 2πli +
∞
X
n=1
3
n
− 1
n
1
z
n
, (24)
где l — целое число, которое нужно найти.
Этот ряд сходится в области 3 < |z| < ∞. Заметим, что из него
получается, например, f(4) = −πi + 2πli + α, где α — действительное
число, а по формуле (23) (см. п.1) ) f(4) = ln 3 + πi. Следовательно,
l = 1 и
f(z) = πi +
∞
X
n=1
3
n
− 1
n
1
z
n
, 3 < |z| < ∞.
A
A
З а м е ч а н и е 1. Пусть f(z) — регулярная ветвь функции
Ln
z − a
b − z
в плоскости с разрезом по отрезку [a,b], где a, b — действи-
тельные числа, a < b (рис. 25), такая, что f(x + i0) = ln
x − a
b − x
при
a < x < b.
Тогда, как и в примере 11, доказывается, что значения функции
f(z) вычисляются по формуле
f(z) = ln
z − a
b − z
+ i(∆ϕ
1
− ∆ϕ
2
), (25)
  § 5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций    49

                                        z−1
   4) В кольце 3 < |z| < ∞ функция Ln         распадается на регуляр-
                                        3−z
ные ветви, для которых ряды Лорана по степеням z можно получить
следующим способом:
                      (−1) 1 − z1
                                    
            z−1                                              1
        Ln       = Ln                 = Ln(−1) + Ln(1 − )−
            3−z            1 − z3                            z
                                                   ∞
                             3                      X    1
                 − Ln 1 −         = −πi + 2πli −             +
                             z                          nz n
                                                    n=1
                    ∞
                    X   3n
                 +          , l = 0, ± 1, ± 2, . . . .
                       nz n
                    n=1

   Так как функция f (z) является одной из этих ветвей, то
                                        ∞
                                        X 3n − 1 1
                 f (z) = −πi + 2πli +              ,              (24)
                                            n zn
                                        n=1

где l — целое число, которое нужно найти.
   Этот ряд сходится в области 3 < |z| < ∞. Заметим, что из него
получается, например, f (4) = −πi + 2πli + α, где α — действительное
число, а по формуле (23) (см. п.1) ) f (4) = ln 3 + πi. Следовательно,
l=1и
                          ∞
                          X  3n − 1 1
             f (z) = πi +              , 3 < |z| < ∞. A
                               n zn
                          n=1

    З а м е ч а н и е 1. Пусть f (z) — регулярная ветвь функции
    z−a
Ln        в плоскости с разрезом по отрезку [a,b], где a, b — действи-
    b−z
                                                             x−a
тельные числа, a < b (рис. 25), такая, что f (x + i0) = ln         при
                                                             b−x
a < x < b.
    Тогда, как и в примере 11, доказывается, что значения функции
f (z) вычисляются по формуле
                                z−a
                  f (z) = ln        + i(∆ϕ1 − ∆ϕ2 ),              (25)
                                b−z

Страницы