Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций 47
∆ϕ
2
∆ϕ
1
1 3
z
2 + i0
γ
Рис. 24.
Решим следующие задачи:
1) найти формулу для вычисления значе-
ний функции f(z);
2) найти формулу для производной функ-
ции f(z);
3) разложить функцию f(z) в ряд Тейлора
в окрестности точки z = 1 + 2i по степе-
ням (z − 1 − 2i);
4) разложить функцию f(z) в ряд Лорана в
кольце 3 < |z| < ∞ по степеням z.
A
A
1) Из условия f (2+i0) = 0 и формулы (19) при z
0
= 2+i0 получаем
f(2 + i0) = πi + (ϕ
(0)
1
− ϕ
(0)
2
)i = 0.
Следовательно, формула (20) для вычисления значений функции
f(z) такова
f(z) = ln
z − 1
3 − z
+ (∆ϕ
1
− ∆ϕ
2
)i, (23)
где ∆ϕ
1
= ∆
γ
arg(z − 1), ∆ϕ
2
= ∆
γ
arg(z − 3) (рис. 24).
Например, по формуле (23) находим
f(4) = ln 3 + π, f(x + i0) = ln
x − 1
3 − x
при 1 < x < 3,
f(x − i0) = ln
x − 1
3 − x
+ 2πi при 1 < x < 3
f(1 + 2i) = −
1
2
ln 2 +
3πi
4
.
2) Так как Ln
z − 1
3 − z
= πi + Ln(z −1) −Ln(z −3), то по свойству 4,
§2 находим
f
0
(z) =
1
z − 1
−
1
z − 3
=
2
(z − 1)(3 − z)
  § 5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций        47

                                                         z
    Решим следующие задачи:
1) найти формулу для вычисления значе-
   ний функции f (z);
                                                      γ
2) найти формулу для производной функ-
   ции f (z);
3) разложить функцию f (z) в ряд Тейлора        ∆ϕ1    2 + i0 ∆ϕ2
   в окрестности точки z = 1 + 2i по степе-
                                              1                    3
   ням (z − 1 − 2i);                                  Рис. 24.
4) разложить функцию f (z) в ряд Лорана в
   кольце 3 < |z| < ∞ по степеням z.
 A 1) Из условия f (2+i0) = 0 и формулы (19) при z0 = 2+i0 получаем

                                       (0)    (0)
                   f (2 + i0) = πi + (ϕ1 − ϕ2 )i = 0.

    Следовательно, формула (20) для вычисления значений функции
f (z) такова
                                z−1
                   f (z) = ln       + (∆ϕ1 − ∆ϕ2 )i,                  (23)
                                3−z

где ∆ϕ1 = ∆γ arg(z − 1), ∆ϕ2 = ∆γ arg(z − 3) (рис. 24).
   Например, по формуле (23) находим

                                             x−1
       f (4) = ln 3 + π,     f (x + i0) = ln         при 1 < x < 3,
                                             3−x
                                x−1
               f (x − i0) = ln        + 2πi при 1 < x < 3
                                3−x
                                       1       3πi
                        f (1 + 2i) = − ln 2 +      .
                                       2        4

                   z−1
   2) Так как Ln       = πi + Ln(z − 1) − Ln(z − 3), то по свойству 4,
                   3−z
§2 находим
                             1   1          2
                f 0 (z) =      −    =
                            z−1 z−3   (z − 1)(3 − z)

Страницы