Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

50 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
где ∆ϕ
1
= ∆
γ
arg(z − a), ∆ϕ
2
= ∆
γ
arg(z − b) (рис. 25).
Формулой (25) будем пользоваться в дальнейшем при вычислении
интегралов.
∆ϕ
2
∆ϕ
1
a
b
z
x + i0
γ
∆ϕ
2
∆ϕ
1
0 2
z
1 + i0
γ
Рис. 25 Рис. 26
П р и м е р 12. Пусть f(z) — регулярная ветвь функции
3
p
z
2
(2 − z)
в плоскости с разрезом по отрезку [0,2] (рис. 26) такая, что f (1+i0) =
= 1.
Решим следующие задачи:
1) найти формулу для вычисления значений функции f (z);
2) найти формулу для производной функции f(z);
3) разложить функцию f(z) в ряд Лорана в кольце 2 < |z| < ∞ по
степеням z.
A
A
1) Из условия f (1 + i0) = 1 и формулы (21) при z
0
= 1 + i0, α =
2
3
получаем
f(1 + i0) = e
i
3
(2ϕ
(0)
1
+ϕ
(0)
2
+π)
= 1.
Следовательно, формула (22) для вычисления значения функции
f(z) такова
f(z) =
3
p
|z|
2
|2 − z|e
i
3
(2∆ϕ
1
+∆ϕ
2
)
, (26)
где ∆ϕ
1
= ∆
γ
arg(z), ∆ϕ
2
= ∆
γ
arg(z − 2) (рис. 26).
Например, по формуле (26) находим
f(3) =
3
√
9e
−
πi
3
, f(−1) =
3
√
3e
2πi
3
, f(x + i0) =
3
p
x
2
(2 − x)
50         Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции


где ∆ϕ1 = ∆γ arg(z − a), ∆ϕ2 = ∆γ arg(z − b) (рис. 25).
   Формулой (25) будем пользоваться в дальнейшем при вычислении
интегралов.
                   z                                                             z



                       γ
                                                                             γ

            ∆ϕ1             ∆ϕ2                                                      ∆ϕ2
                       x + i0                                   ∆ϕ1      1 + i0
       a                                b                  0                                2
                       Рис. 25                                        Рис. 26

                                                            p
    П р и м е р 12. Пусть f (z) — регулярная ветвь функции 3 z 2 (2 − z)
в плоскости с разрезом по отрезку [0,2] (рис. 26) такая, что f (1+i0) =
= 1.
    Решим следующие задачи:
1) найти формулу для вычисления значений функции f (z);
2) найти формулу для производной функции f (z);
3) разложить функцию f (z) в ряд Лорана в кольце 2 < |z| < ∞ по
   степеням z.
 A 1) Из условия f (1 + i0) = 1 и формулы (21) при z0 = 1 + i0, α = 23
получаем
                                            i        (0)       (0)
                            f (1 + i0) = e 3 (2ϕ1          +ϕ2 +π)
                                                                      = 1.
    Следовательно, формула (22) для вычисления значения функции
f (z) такова
                          p               i
                  f (z) = 3 |z|2 |2 − z|e 3 (2∆ϕ1 +∆ϕ2 ) ,  (26)
где ∆ϕ1 = ∆γ arg(z), ∆ϕ2 = ∆γ arg(z − 2) (рис. 26).
   Например, по формуле (26) находим
               √           πi               √        2πi
                   9e− 3 ,
               3                            3
                                                                                 p
                                                                                 3
     f (3) =                     f (−1) =       3e    3    ,    f (x + i0) =         x2 (2 − x)

Страницы