Многозначные аналитические функции. Сидоров Ю.В. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

52 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции
где k — целое число, которое нужно найти.
Ряд (28) сходится в области 2 < |z| < ∞. Заметим, что коэффи-
циенты ряда
g(z) = 1 −
2
3z
−
4
9z
2
− . . .
действительны и g(z) → 1 при z → ∞. Поэтому g(x) > 0 при доста-
точно больших x > 2 (можно показать, что g(x) > 0 при x > 2).
При таких значениях z = x по формуле (28) получаем
f(x) = xg(x)e
π+2πk
3
i
= |f(x)|e
π+2πk
3
i
.
А по формуле (26) находим
f(x) = |f(x)|e
−
πi
3
.
Следовательно, e
π+2πk
3
i
= e
−
πi
3
(откуда, например, k = −1) и
f(z) = e
−
πi
3
∞
X
n=0
c
n
1
3
(−2)
n
1
z
n−1
, 2 < |z| < ∞.
A
A
З а м е ч а н и е 2. Пусть f(z) — регулярная ветвь функции (z−
−a)
α
×(b−z)
1−α
, где a,b,α — действительные числа, a < b, в плоскости
с разрезом по отрезку [a,b] (рис. 25) такая, что f (x + i0) = (x −a)
α
(b −
− x)
1−α
> 0 при a < x < b. Тогда как и в примере 12, доказывается,
что значения функции f (z) вычисляются по формуле
f(z) = |z − a|
α
|b − z|
1−α
e
iα∆ϕ
1
+i(1−α)∆ϕ
2
, (29)
где ∆ϕ
1
= ∆
γ
arg(z − a), ∆ϕ
2
= ∆
γ
arg(z − b) (рис. 25).
4. Римановы поверхности функций Ln z и
√
z
П р и м е р 13. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезом
по лучу (−∞,0] (рис. 17). В этой области функция Ln z распадается
на регулярные ветви
f
k
(z) = ln |z| + (ϕ + 2πk)i, k = 0, ± 1, ± 2, . . . , (30)
52         Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции

где k — целое число, которое нужно найти.
   Ряд (28) сходится в области 2 < |z| < ∞. Заметим, что коэффи-
циенты ряда
                                 2    4
                     g(z) = 1 −    − 2 − ...
                                3z 9z
действительны и g(z) → 1 при z → ∞. Поэтому g(x) > 0 при доста-
точно больших x > 2 (можно показать, что g(x) > 0 при x > 2).
   При таких значениях z = x по формуле (28) получаем
                                       π+2πk                  π+2πk
                                             i                      i
                   f (x) = xg(x)e        3       = |f (x)|e     3       .

А по формуле (26) находим
                                                       πi
                              f (x) = |f (x)|e− 3 .
                        π+2πk          πi
     Следовательно, e     3
                              i
                                  = e− 3 (откуда, например, k = −1) и
                            ∞
                     − πi
                            X                    1
            f (z) = e  3          cn1 (−2)n           , 2 < |z| < ∞. A
                                   3          z n−1
                            n=0


    З а м е ч а н и е 2. Пусть f (z) — регулярная ветвь функции (z −
−a)α ×(b−z)1−α , где a,b,α — действительные числа, a < b, в плоскости
с разрезом по отрезку [a,b] (рис. 25) такая, что f (x + i0) = (x − a)α (b −
− x)1−α > 0 при a < x < b. Тогда как и в примере 12, доказывается,
что значения функции f (z) вычисляются по формуле

               f (z) = |z − a|α |b − z|1−α eiα∆ϕ1 +i(1−α)∆ϕ2 ,              (29)

где ∆ϕ1 = ∆γ arg(z − a), ∆ϕ2 = ∆γ arg(z − b) (рис. 25).
                                                                  √
4. Римановы поверхности функций Ln z и                                  z
   П р и м е р 13. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезом
по лучу (−∞,0] (рис. 17). В этой области функция Ln z распадается
на регулярные ветви

            fk (z) = ln |z| + (ϕ + 2πk)i, k = 0, ± 1, ± 2, . . . ,          (30)

Страницы